1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của tích số – vectơ trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, “Tích của một số với một vectơ” là một phép toán cơ bản trong đại số vectơ. Đây là một trong những nội dung quan trọng giúp học sinh nắm vững các phép biến hình vectơ, phục vụ cho việc giải các bài toán hình học không gian và giải tích vectơ. Việc hiểu chính xác phép nhân vô hướng giữa một số (hằng số real) và vectơ sẽ hỗ trợ kỹ năng giải bài về tọa độ điểm, đường thẳng, mặt phẳng, cũng như ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của tích của một số với một vectơ

Cho số thực$k$và vectơ $\vec{v}$trong không gian$\mathbb{R}^n$với tọa độ $\vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n)$. Tích của số $k$với vectơ $\vec{v}$, ký hiệu là $k\vec{v}$, được định nghĩa là vectơ mới có các thành phần bằng tích của$k$với từng thành phần của$\vec{v}$:

$k\vec{v}=(kv_1,\;kv_2,\;\dots,\;kv_n).$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định số $k$và các thành phần$v_i$của vectơ $\vec{v}$.

Bước 2: Nhân số $k$với từng thành phần$v_i$ để thu được thành phần mới$kv_i$.

Bước 3: Viết kết quả dưới dạng một vectơ mới.

Ví dụ 1 (vectơ trong$\mathbb{R}^2$): Cho$\vec{a}=(2,3)$và $k=4$. Khi đó:

$4\vec{a}=(4 \times 2,\;4 \times 3)=(8,12).$

Ví dụ 2 (vectơ trong$\mathbb{R}^3$): Cho$\vec{b}=(-1,0,5)$và $k=-2$. Khi đó:

$-2\vec{b}=(-2 \times (-1),\;-2 \times 0,\;-2 \times 5)=(2,0,-10).$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$k=0$, thì $0\vec{v}=(0,0,\dots,0)$là vectơ không.

- Nếu$k<0$, phép nhân đảo chiều vectơ (đổi hướng ngược lại) và thay đổi độ dài theo |$k$|.

- Nếu$|k|=1$, vectơ mới bằng vectơ cũ hoặc ngược chiều (nếu$k=-1$) nhưng cùng độ dài.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng tạo thành không gian vectơ trên trường thực, nền tảng cho đại số tuyến tính.

- Trong hình học không gian, tích vô hướng với số giúp biểu diễn phép dãn và co giãn, quan trọng trong phép biến hình đồng dạng.

- Ứng dụng trong giải tích vectơ: khi tính đạo hàm hay tích phân vectơ, phép nhân với một hàm số thực$f(t)$tương tự:$f(t)\vec{v}$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{u}=(1,-2,4)$và $k=3$. Tìm$3\vec{u}$.

Lời giải:$3\vec{u}=(3 \times 1,\;3 \times (-2),\;3 \times 4)=(3,-6,12).$

Bài tập 2: Cho$\vec{p}=(5,0,-3,2)$và $k=-\tfrac{1}{2}$. Tính$k\vec{p}$.

Lời giải:$-\tfrac{1}{2}\vec{p}=\bigl(-\tfrac{1}{2}\times 5,\;-\tfrac{1}{2} \times 0,\;-\tfrac{1}{2} \times (-3),\;-\tfrac{1}{2} \times 2\bigr)=\bigl(-\tfrac{5}{2},0,\tfrac{3}{2},-1\bigr).$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn phép nhân vô hướng với nhân vô hướng (dot product). Hãy nhớ, ở đây ta nhân số với vectơ, không phải hai vectơ.

• Quên dấu âm khi$k<0$. Luôn nhân đúng từng thành phần.

• Viết kết quả không cùng thứ tự tọa độ. Giữ nguyên thứ tự thành phần.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Định nghĩa:$k\vec{v}=(kv_1,kv_2,\dots,kv_n)$.

• Khi$k=0$cho vectơ không, khi$k<0$ đổi hướng.

• Ứng dụng trong hình học, đại số tuyến tính và giải tích vectơ.