Tích của một số với một vectơ: Khái niệm, ví dụ và lưu ý cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về tích của một số với một vectơ và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, các phép toán với vectơ đóng vai trò quan trọng để học sinh làm nền tảng cho các vấn đề hình học không gian, hệ tọa độ cũng như các bài toán ứng dụng thực tiễn của vectơ trong vật lý và kỹ thuật. Một trong các phép toán cơ bản là tích của một số với một vectơ (còn gọi là phép nhân vectơ với một số hay phép nhân vô hướng với vectơ). Hiểu rõ phép toán này không chỉ giúp giải quyết các bài toán về vectơ mà còn phát triển tư duy hình học và suy luận logic.

2. Định nghĩa chính xác: Tích của một số với một vectơ là gì?

Cho vectơ

và số thực$\lambda$. Tích của số $\lambda$với vectơ , ký hiệu là , là một vectơ mới được xác định như sau:

• Nếu$\lambda = 0$, thì $\lambda\vec{a} = \vec{0}$(vectơ không).
• Nếu$\lambda > 0$,$\lambda\vec{a}$là vectơ cùng hướng với$\vec{a}$, có độ dài là $|\lambda| \cdot |\vec{a}|$.
• Nếu$\lambda < 0$,$\lambda\vec{a}$là vectơ ngược hướng với$\vec{a}$, có độ dài là $|\lambda| \cdot |\vec{a}|$.

Về mặt hình học, nhân một vectơ với một số thực tương ứng với việc "phóng to" hoặc "thu nhỏ" vectơ ban đầu và có thể đảo ngược hướng của vectơ (khi$\lambda$ âm).

3. Cách tính tích của một số với một vectơ bằng các bước cụ thể (Có ví dụ minh họa)

Giả sử $\vec{a} = (x; y; z)$là vectơ trong không gian với thành phần tọa độ $x, y, z$. Để nhân$\vec{a}$với một số thực$\lambda$, ta làm theo các bước:

Ví dụ: Cho$\vec{a} = (2; -3; 5)$và $\lambda = -2$. Khi đó:

$\lambda\vec{a} = -2 \cdot (2; -3; 5) = (-4; 6; -10)$

Vậy$-2 \vec{a}$là vectơ có toạ độ $(-4; 6; -10)$, ngược hướng với$\vec{a}$và có độ dài gấp đôi.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng tích của một số với một vectơ

- Khi$\lambda = 0$: mọi vectơ khi nhân với$0$ đều thành vectơ không ($\vec{0}$).
- Khi$\lambda = 1$:$1\vec{a} = \vec{a}$(tích không làm thay đổi vectơ đó).
- Khi$\lambda = -1$:$-1\vec{a} = -\vec{a}$(vectơ đối của$\vec{a}$, cùng độ dài, ngược hướng).

Lưu ý:
- Nếu$\vec{a}$là vectơ không, thì với mọi$\lambda$ta luôn có $\lambda \vec{0} = \vec{0}$.
- Tích của một số với một vectơ không làm thay đổi phương của vectơ (trừ khi$\lambda = 0$), chỉ thay đổi độ dài và hướng tuỳ dấu của$\lambda$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tích của một số với một vectơ liên kết chặt chẽ với các phép toán khác trên vectơ và các yếu tố hình học không gian như:
- Kết hợp với phép cộng vectơ để giải các bài toán tuyến tính.
- Ứng dụng trong việc xác định phương, hướng và độ dài của đại lượng véc-tơ trong không gian.
- Là cơ sở cho việc xác định các điểm chia đoạn thẳng trong tỉ số cho trước (ứng dụng trong hình học không gian).
- Kết nối tới khái niệm tích vô hướng (dot product) và tích có hướng (cross product) trong các bài toán nâng cao.

6. Các bài tập mẫu về tích của một số với một vectơ (Có lời giải chi tiết)

Bài tập 1: Cho$\vec{a} = (1; -2; 4)$và $\lambda = 3$, hãy tính$\lambda \vec{a}$.
Lời giải:
$3\vec{a} = 3 \cdot (1; -2; 4) = (3; -6; 12)$

Bài tập 2: Cho$\vec{b} = (2; 0; -1)$và $\lambda = -0.5$, tính$\lambda \vec{b}$.
Lời giải:
$-0.5\vec{b} = -0.5 \cdot (2; 0; -1) = (-1; 0; 0.5)$

Bài tập 3: Cho$\vec{c} = (-3; 5; 2)$và $\lambda = 0$, hãy xác định$\lambda\vec{c}$.
Lời giải:$0\vec{c} = (0; 0; 0)$(vectơ không).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi học về tích của một số với một vectơ

• Hay quên đảo dấu các thành phần khi$\lambda$là số âm. (Ví dụ:$-2\vec{a}$yêu cầu nhân từng thành phần với$-2$).
• Gộp nhầm thành phép nhân vectơ với vectơ (vui lòng nhớ: phép nhân số với vectơ khác với tích vô hướng hoặc tích có hướng).
• Nhầm tưởng chiều dài (độ lớn) không thay đổi khi nhân với số khác 1.
• Chưa phân biệt rõ hướng thay đổi thế nào khi$\lambda$ âm.

Để tránh các sai lầm trên, hãy luôn kiểm tra dấu của$\lambda$và hiểu rõ bản chất của phép toán. Khi giải bài tập nên viết rõ từng bước nhân thành phần, đặc biệt chú ý khi$\lambda$là số âm hoặc bằng$0$.

8. Tóm tắt: Những điểm chính cần nhớ về tích của một số với một vectơ

• Tích của một số với một vectơ cho ra một vectơ mới cùng phương, có thể cùng hướng hoặc ngược hướng, độ dài thay đổi theo trị tuyệt đối của số đó.
• Nếu vectơ ban đầu là $\vec{0}$, kết quả luôn là vectơ không.
• Có thể tính nhanh bằng cách nhân từng tọa độ của vectơ với số thực.
• Cần phân biệt phép toán này với các loại tích vectơ khác và chú ý hướng, độ dài của kết quả.
• Biết ứng dụng trong chia đoạn, giải các bài toán liên quan đến tọa độ và hình học không gian.

Nắm vững phép toán tích của một số với một vectơ là bước đệm vững chắc để học sinh lớp 12 tự tin vượt qua các dạng bài về vectơ, hình học không gian và ứng dụng thực tế.