Blog

Tích của một số với một vectơ: Khái niệm, ý nghĩa và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về tích của một số với một vectơ

Trong chương trình toán học lớp 12, mảng kiến thức về vectơ đóng vai trò cực kỳ quan trọng, đặc biệt trong hình học không gian. Một trong những phép toán cơ bản trên vectơ là phép nhân một số với một vectơ (hay còn gọi là "tích của một số với một vectơ"). Hiểu và vận dụng thành thạo phép toán này giúp học sinh giải quyết dễ dàng các bài toán về vị trí, phương, độ dài và các bài toán phức tạp hơn về hệ tọa độ không gian hoặc hình học giải tích.

2. Định nghĩa chính xác về tích của một số với một vectơ

Cho số thựckkvà vectơ

veca\\vec{a}
. Tích số kkvới vectơ
veca\\vec{a}
, ký hiệu
kvecak\\vec{a}
hoặc
vecak\\vec{a}k
, là một vectơ thỏa mãn các tính chất sau:

  • Nếu
    vecavec0\\vec{a} \neq \\vec{0}
    k0k \neq 0thì
    kvecak\\vec{a}
    cùng phương với
    veca\\vec{a}
    .
  • Nếuk>0k > 0thì
    kvecak\\vec{a}
    cùng hướng với
    veca\\vec{a}
    ; nếuk<0k < 0thì
    kvecak\\vec{a}
    ngược hướng với
    veca\\vec{a}
    .
  • Độ dài của
    kvecak\\vec{a}
    bằngk|k|lần độ dài của
    veca\\vec{a}
    : \\
    kveca=kveca|k\\vec{a}| = |k| |\\vec{a}|
    .
  • Nếuk=0k = 0hoặc
    veca=vec0\\vec{a} = \\vec{0}
    thì
    kveca=vec0k\\vec{a} = \\vec{0}
    (vectơ không).

Tóm lại, phép nhân một số với một vectơ tạo ra một vectơ mới cùng hoặc ngược phương với vectơ ban đầu, có độ dài tỉ lệ với độ lớn của số đó.

3. Minh họa qua ví dụ cụ thể

Giả sử bạn có vectơ

veca\\vec{a}
với tọa độ
veca=(2,3,1)\\vec{a} = (2, 3, -1)
. Ta sẽ xét một số trường hợp với các số k khác nhau:

  • k=2k = 2:
    2veca=(2×2,2×3,2×(1))=(4,6,2)2\\vec{a} = (2 \times 2, 2 \times 3, 2 \times (-1)) = (4, 6, -2)
    . Đây là vectơ cùng hướng với
    veca\\vec{a}
    , dài gấp đôi
    veca\\vec{a}
    .
  • k=3k = -3:
    3veca=(3×2,3×3,3×(1))=(6,9,3)-3\\vec{a} = (-3 \times 2, -3 \times 3, -3 \times (-1)) = (-6, -9, 3)
    . Vectơ này ngược hướng
    veca\\vec{a}
    , có độ dài gấp 3 lần độ dài của
    veca\\vec{a}
    .
  • k=0k = 0:
    0veca=(0,0,0)0\\vec{a} = (0, 0, 0)
    , chính là vectơ không.

Trong mặt phẳng, nếu

veca=(a1,a2)\\vec{a} = (a_1, a_2)
thì
kveca=(ka1,ka2)k\\vec{a} = (k a_1, k a_2)
. Tương tự, trong không gian
veca=(a1,a2,a3)\\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)
thì
kveca=(ka1,ka2,ka3)k\\vec{a} = (k a_1, k a_2, k a_3)
.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếuk=0k = 0, bất kỳ vectơ nào nhân với 0 cũng trở thành vectơ không:
    0veca=vec00\\vec{a} = \\vec{0}
    .
  • Nếu
    veca=vec0\\vec{a} = \\vec{0}
    , bất kỳ số nào (kể cả khác 0) nhân với vectơ không đều ra vectơ không:
    kvec0=vec0k\\vec{0} = \\vec{0}
    .
  • Dấu hiệu nhận biết cùng hướng/ngược hướng: Nếuk>0k > 0,
    kvecak\\vec{a}
    cùng hướng
    veca\\vec{a}
    ; nếuk<0k < 0,
    kvecak\\vec{a}
    ngược hướng
    veca\\vec{a}
    .

Hãy chú ý: Nhầm lẫn dấu củakklà lỗi phổ biến nhất! Hãy luôn kiểm tra dấu trước khi kết luận hướng của vectơ mới.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép nhân một số với một vectơ là cơ sở hình thành khái niệm tổ hợp tuyến tính, tích vô hướng, và là nền tảng trong việc thiết lập hệ tọa độ, các biểu thức về phương và độ lớn trong không gian. Đặc biệt:

  • Tổ hợp tuyến tính:
    k1veca+k2vecbk_1\\vec{a} + k_2\\vec{b}
    là một vectơ cùng nằm trong mặt phẳng (hoặc không gian) của
    veca\\vec{a}
    vecb\\vec{b}
    .
  • Tìm vectơ cùng phương: Nếu
    vecb=kveca\\vec{b} = k\\vec{a}
    , hai vectơ cùng phương.
  • Chia tỉ lệ độ dài, định hướng đoạn thẳng, chuyển dịch vị trí trong hình học giải tích.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho

veca=(1,4)\\vec{a} = (1, -4)
, tìm
3veca-3\\vec{a}
và xác định hướng của
3veca-3\\vec{a}
so với
veca\\vec{a}
.

Giải:

3veca=(3×1,3×4)=(3,12)-3\\vec{a} = (-3 \times 1, -3 \times -4) = (-3, 12)
. Vì 3<0-3 < 0nên
3veca-3\\vec{a}
ngược hướng
veca\\vec{a}
, độ dài gấp 3 lần độ dài
veca\\vec{a}
.

Bài 2: Cho

vecb=(2,3,6)\\vec{b} = (2, 3, 6)
, hãy tính
0,5vecb0,5\\vec{b}
và nêu nhận xét về hướng, độ dài.

Giải:

0,5vecb=(0,5×2,0,5×3,0,5×6)=(1,1,5,3)0,5\\vec{b} = (0,5 \times 2, 0,5 \times 3, 0,5 \times 6) = (1, 1,5, 3)
.0,5>00,5 > 0nên cùng hướng
vecb\\vec{b}
, độ dài bằng một nửa độ dài
vecb\\vec{b}
.

Bài 3: Cho vectơ

vecc\\vec{c}
bất kỳ. Hỏi:
vecc-\\vec{c}
có đặc điểm gì?

Giải:

vecc-\\vec{c}
cùng phương với
vecc\\vec{c}
nhưng ngược hướng, độ dài giữ nguyên như
vecc\\vec{c}
.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Lỗi nhầm lẫn dấu củakk, từ đó suy sai hướng của vectơ.
  • Quên nhân mỗi thành phần vectơ vớikkkhi biểu diễn tọa độ.
  • Nhầm lẫn giữa tích vô hướng (cho kết quả là số) và tích số với vectơ (cho kết quả là vectơ).

Để tránh sai lầm: Luôn kiểm tra dấukk, nhân đúng từng thành phần và đọc kỹ đề bài!

8. Tóm tắt, ghi nhớ và kết luận

- Tích của một số với một vectơ giúp biến đổi độ dài và hướng của vectơ.
- Nếuk>0k > 0: Vectơ mới cùng hướng,k<0k < 0: Ngược hướng;k=0k = 0hoặc vectơ không đều cho ra vectơ không.
- Áp dụng được cho mọi loại vectơ trong mặt phẳng, không gian, quan hệ chặt chẽ với các phép toán và khái niệm khác trong đại số tuyến tính và hình học.
- Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia, hãy luyện tập các dạng bài điển hình để nắm chắc kiến thức!

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".