Tích của một số với một vectơ: Khái niệm, ý nghĩa và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12
1. Giới thiệu về tích của một số với một vectơ
Trong chương trình toán học lớp 12, mảng kiến thức về vectơ đóng vai trò cực kỳ quan trọng, đặc biệt trong hình học không gian. Một trong những phép toán cơ bản trên vectơ là phép nhân một số với một vectơ (hay còn gọi là "tích của một số với một vectơ"). Hiểu và vận dụng thành thạo phép toán này giúp học sinh giải quyết dễ dàng các bài toán về vị trí, phương, độ dài và các bài toán phức tạp hơn về hệ tọa độ không gian hoặc hình học giải tích.
2. Định nghĩa chính xác về tích của một số với một vectơ
Cho số thựcvà vectơ
- Nếuvà thìcùng phương với.
- Nếuthì cùng hướng với; nếuthìngược hướng với.
- Độ dài củabằnglần độ dài của: \\.
- Nếuhoặcthì(vectơ không).
Tóm lại, phép nhân một số với một vectơ tạo ra một vectơ mới cùng hoặc ngược phương với vectơ ban đầu, có độ dài tỉ lệ với độ lớn của số đó.
3. Minh họa qua ví dụ cụ thể
Giả sử bạn có vectơ
- :. Đây là vectơ cùng hướng với, dài gấp đôi.
- :. Vectơ này ngược hướng, có độ dài gấp 3 lần độ dài của.
- :, chính là vectơ không.
Trong mặt phẳng, nếu
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
- Nếu, bất kỳ vectơ nào nhân với 0 cũng trở thành vectơ không:.
- Nếu, bất kỳ số nào (kể cả khác 0) nhân với vectơ không đều ra vectơ không:.
- Dấu hiệu nhận biết cùng hướng/ngược hướng: Nếu,cùng hướng; nếu,ngược hướng.
Hãy chú ý: Nhầm lẫn dấu củalà lỗi phổ biến nhất! Hãy luôn kiểm tra dấu trước khi kết luận hướng của vectơ mới.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
Phép nhân một số với một vectơ là cơ sở hình thành khái niệm tổ hợp tuyến tính, tích vô hướng, và là nền tảng trong việc thiết lập hệ tọa độ, các biểu thức về phương và độ lớn trong không gian. Đặc biệt:
- Tổ hợp tuyến tính:là một vectơ cùng nằm trong mặt phẳng (hoặc không gian) củavà.
- Tìm vectơ cùng phương: Nếu, hai vectơ cùng phương.
- Chia tỉ lệ độ dài, định hướng đoạn thẳng, chuyển dịch vị trí trong hình học giải tích.
6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết
Bài 1: Cho
Giải:
Bài 2: Cho
Giải:
Bài 3: Cho vectơ
Giải:
7. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Lỗi nhầm lẫn dấu của, từ đó suy sai hướng của vectơ.
- Quên nhân mỗi thành phần vectơ vớikhi biểu diễn tọa độ.
- Nhầm lẫn giữa tích vô hướng (cho kết quả là số) và tích số với vectơ (cho kết quả là vectơ).
Để tránh sai lầm: Luôn kiểm tra dấu, nhân đúng từng thành phần và đọc kỹ đề bài!
8. Tóm tắt, ghi nhớ và kết luận
- Tích của một số với một vectơ giúp biến đổi độ dài và hướng của vectơ.
- Nếu: Vectơ mới cùng hướng,: Ngược hướng;hoặc vectơ không đều cho ra vectơ không.
- Áp dụng được cho mọi loại vectơ trong mặt phẳng, không gian, quan hệ chặt chẽ với các phép toán và khái niệm khác trong đại số tuyến tính và hình học.
- Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia, hãy luyện tập các dạng bài điển hình để nắm chắc kiến thức!
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại