Tích của một số với một vectơ: Khái niệm, cách thực hiện và ứng dụng trong Toán 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương "Vectơ và hệ tọa độ trong không gian", các phép toán với vectơ đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Một trong những phép toán cơ bản nhất là "tích của một số với một vectơ". Việc hiểu và nắm vững phép toán này giúp học sinh giải quyết các bài toán về vectơ, tìm tọa độ điểm, tính độ dài và giải các vấn đề liên quan đến hình học không gian.

2. Định nghĩa chính xác về tích của một số với một vectơ

Cho số thực$k$và vectơ $\vec{a}$. Khi đó, "tích của số $k$với vectơ $\vec{a}$" là một vectơ mới ký hiệu là $k\vec{a}$, được xác định như sau:

- Hướng của$k\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$nếu$k > 0$, ngược hướng với$\vec{a}$nếu$k < 0$.- Độ dài của$k\vec{a}$bằng$|k|$lần độ dài của$\vec{a}$:$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.- Nếu$k = 0$, thì $k\vec{a}$là vectơ-không:$0\vec{a} = \vec{0}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử $\vec{a}$có tọa độ trong không gian là $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$. Khi nhân với số thực$k$, ta có:

k\vec{a} = (k a_1, k a_2, k a_3)

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2, -1, 4)$. Tính$3\vec{a}$và $-2\vec{a}$.

Lời giải: -$3\vec{a} = (3 \times 2, 3 \times -1, 3 \times 4) = (6, -3, 12)$-$-2\vec{a} = (-2 \times 2, -2 \times -1, -2 \times 4) = (-4, 2, -8)$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$k = 0$:$0\vec{a} = \vec{0}$(vectơ-không)$.<br />- Nếu$k = 1$:$1\vec{a} = \vec{a}$- Nếu$k = -1$:$-1\vec{a}$là vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng$\vec{a}$.<br />- Nếu$|k| > 1$: Tích có độ dài lớn hơn độ dài vectơ ban đầu.<br />- Nếu$0 < |k| < 1$: Tích là vectơ cùng hoặc ngược hướng nhưng độ dài ngắn hơn.

Lưu ý: Khi nhân hai số với một vectơ, ta có $(k \cdot m) \vec{a} = k (m \vec{a})$(tính chất kết hợp).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tích của một số với một vectơ liên quan mật thiết tới các phép toán khác như:

- Phép cộng, trừ vectơ: Khi cộng$\vec{a}$với$k\vec{a}$có thể sử dụng các tính chất phối hợp.
- Tính tọa độ điểm: Khi biết một điểm ban đầu và hướng dịch chuyển là vectơ $\vec{a}$, việc nhân$\vec{a}$với một số sẽ cho ta tọa độ điểm mới trên đường thẳng chứa$\vec{a}$.
- Phép chuẩn hóa vectơ: Để tìm vectơ đơn vị cùng hướng với$\vec{a}$, ta nhân$\vec{a}$với số $k = \frac{1}{|\vec{a}|}$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{u} = (2, 5, -3)$, hãy tính$-\frac{1}{2} \vec{u}$.

Lời giải:$-\frac{1}{2}\vec{u} = \left(-\frac{1}{2} \times 2, -\frac{1}{2} \times 5, -\frac{1}{2} \times -3\right) = (-1, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$

Bài tập 2: Xác định vectơ đơn vị cùng hướng với$\vec{b} = (3, 4)$.

Lời giải:

Đầu tiên, tính độ dài của $\vec{b}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

=> Vectơ đơn vị là:
$\vec{e} = \frac{1}{|\vec{b}|}\vec{b} = \frac{1}{5}(3, 4) = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$

Bài tập 3: Khi nào$k\vec{a} = \vec{a}$?

Lời giải: Khi$k = 1$. Khi đó vectơ mới trùng với vectơ ban đầu về cả hướng và độ dài.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn hướng khi số $k$ âm: Cần chú ý rằng khi$k < 0$, vectơ đảo hướng với$\vec{a}$.
- Sai sót khi nhân từng thành phần: Hãy nhân từng tọa độ của vectơ với số $k$, không cộng hoặc nhân tổng các tham số.
- Bỏ qua mô-đun: Khi cần tính độ dài của vectơ sau khi nhân, hãy luôn sử dụng$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
- Quên trường hợp đặc biệt với$k = 0$:$0\vec{a}$luôn là vectơ-không, bất kể $\vec{a}$ra sao.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tích của một số thực$k$với vectơ $\vec{a}$là vectơ $k\vec{a}$có cùng hoặc ngược hướng$\vec{a}$(tùy dấu$k$) và độ dài$|k|$lần độ dài$\vec{a}$.
• Khi viết tọa độ:$k\vec{a} = (k a_1, k a_2, k a_3)$nếu$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$.
• Chú ý các trường hợp đặc biệt với$k = 0$,$k = 1$,$k = -1$.
• Luôn kiểm tra phép nhân các thành phần của vectơ và dấu của số thực$k$.
• Tích số với vectơ có ứng dụng thực tiễn trong giải bài hình học không gian.