Blog

Tiệm cận đứng của hàm phân thức – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về tiệm cận đứng của hàm phân thức và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, việc nghiên cứu về đồ thị hàm số - đặc biệt là hàm phân thức - đóng vai trò nền tảng để hiểu sâu các kiến thức giải tích. Một trong những khái niệm trọng tâm khi khảo sát đồ thị hàm phân thức là tiệm cận đứng. Nó không chỉ giúp ta nhận biết hình dạng đồ thị mà còn hỗ trợ việc biện luận nghiệm, khảo sát sự biến thiên và các bài toán ứng dụng thực tế.

2. Định nghĩa tiệm cận đứng của hàm phân thức

Để hiểu rõ, trước tiên ta nhắc lại: Hàm phân thức là hàm có dạng f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}vớiP(x)P(x),Q(x)Q(x)là các đa thức và Q(x)0Q(x)\ne 0.

Khixxtiến tới giá trị nào đó làm mẫu bằng00(tứcQ(x0)=0Q(x_0)=0), mà tử số P(x0)0P(x_0)\ne 0, hàm số f(x)f(x)có thể "phóng đại" lên++\inftyhoặc-\infty. Khi đó, đường thẳngx=x0x = x_0 được gọi làtiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Cụ thể, ta có:

Đường thẳngx=ax=agọi làtiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x)y = f(x) nếu:

Tạix=ax = a, hàm số không xác định, và một trong hai giới hạnlimxa+f(x)=±\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm \inftyhoặclimxaf(x)=±\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty tồn tại.

3. Cách xác định tiệm cận đứng với ví dụ minh họa

Để xác định tiệm cận đứng của hàm phân thứcf(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, ta làm tuần tự các bước sau:

  1. Bước 1: Tìm các giá trị x=x0x = x_0làmQ(x0)=0Q(x_0) = 0(mẫu số bằng 0) nhưngP(x0)0P(x_0) \ne 0.
  2. Bước 2: Xét giới hạn củaf(x)f(x)khixxtiến tới từng giá trị này từ bên trái và bên phải.
  3. Bước 3: Nếu giới hạn kéo về ++\inftyhoặc-\infty, kết luận đường thẳngx=x0x = x_0là tiệm cận đứng.

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của hàm số y=2x+1x3y = \frac{2x + 1}{x - 3}

Giải:

  1. Tìm mẫu số:x3=0x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3, đồng thời tử số 2x+1=702x+1 = 7 \ne 0khix=3x=3.
  2. Xét giới hạn:

    -limx3+2x+1x3=+\lim\limits_{x \to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty
    -limx32x+1x3=\lim\limits_{x \to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty
  3. Kết luận: Đường thẳngx=3x=3là tiệm cận đứng.

Ví dụ 2: Xét hàmy=x21x24y = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}.

  1. Mẫu số x24=0x=2x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2hoặcx=2x = -2.
  2. Tử số x21=3x^2-1 = 3khix=2x=2x21=3x^2-1 = 3khix=2x=-2. Nên tại hai điểm này, tử số khác 0.
  3. Vậy cả x=2x=2x=2x=-2 đều là tiệm cận đứng.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xác định tiệm cận đứng

  • NếuP(a)=0P(a) = 0Q(a)=0Q(a) = 0: Tử số và mẫu số cùng bằng 0 tạix=ax=a, cần rút gọn trước khi xét tiệm cận đứng.
  • Nếu sau khi rút gọn, mẫu vẫn bằng 0 và tử khác 0 tạix=ax=athì x=ax=avẫn là tiệm cận đứng.
  • Nếu sau khi rút gọn, mẫu không bằng 0 thì x=ax=achỉ là điểm loại bỏ được, không phải tiệm cận.

Ví dụ 3:y=x21x1y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Ta có:x21=(x1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1)nêny=x+1y = x+1vớix1x \ne 1.

Tạix=1x=1, tử số và mẫu số cùng bằng00, nhưng sau khi rút gọn mẫu không còn bằng00, nênx=1x=1không phải tiệm cận đứng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Tiệm cận ngang: Là đường thẳngy=by = bmà đồ thị tiến gần khixx \to \inftyhoặcxx \to -\infty. Hàm phân thức có thể có đồng thời tiệm cận đứng và ngang.
  • Tiệm cận xiên: Với hàm phân thức bậc tử số lớn hơn bậc mẫu số một đơn vị.
  • Liên quan tiếp cận vô cực: Tiệm cận đứng là chỗ hàm số "phóng đại" vô cùng khixxtiến gần giá trị đặc biệt.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Xác định tiệm cận đứng của các hàm số sau:

  1. a)y=3x4x24y = \frac{3x-4}{x^2-4}
  2. b)y=x29x3y = \frac{x^2-9}{x-3}

Lời giải:

a) Mẫu số x24=0x=2hoặcx=2x^2-4=0\Leftrightarrow x=2\text{hoặc} x=-2 . Tử số 3x43x-4 tại x=2x=2 bằng$2$, tại x=2x=-2 bằng 10-10 (đều khác$0$).
=> Tiệm cận đứng: x=2x=2 , x=2x=-2 .
b) Tử số x29=(x3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3) . Rút gọn với mẫu x3x-3 được y=x+3y=x+3 , nhưng tại x=3x=3 , cả tử và mẫu đều bằng$0$.
Sau rút gọn, mẫu không còn bằng$0$. Vậy x=3x=3 chỉ là điểm loại bỏ được, không phải tiệm cận đứng.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Chưa rút gọn phân thức trước khi tìm tiệm cận đứng (dễ bỏ sót hoặc xác định sai).
  • Không xét giá trị mẫu số và tử số tại điểm nghi vấn, dẫn đến sai kết luận.
  • Nhầm lẫn điểm loại bỏ được (hàm xác định lại sau rút gọn) với tiệm cận đứng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tiệm cận đứng của hàm phân thứcf(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}x=ax = asao choQ(a)=0Q(a)=0,P(a)0P(a) \ne 0, sau khi đã rút gọn tối giản.

• Phải kiểm tra và rút gọn phân thức trước khi xác định tiệm cận đứng.

• Luôn đối chiếu cả tử và mẫu tại điểm cần xét để tránh xác định sai.

• Nên làm nhiều ví dụ thực hành để thành thạo cách xác định tiệm cận đứng của hàm phân thức.

Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu và vận dụng hiệu quả khi giải các dạng toán về tiệm cận đứng của hàm phân thức trong chương trình Toán lớp 12!

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".