Tiệm cận đứng của hàm phân thức – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12
1. Giới thiệu về tiệm cận đứng của hàm phân thức và tầm quan trọng
Trong chương trình Toán lớp 12, việc nghiên cứu về đồ thị hàm số - đặc biệt là hàm phân thức - đóng vai trò nền tảng để hiểu sâu các kiến thức giải tích. Một trong những khái niệm trọng tâm khi khảo sát đồ thị hàm phân thức là tiệm cận đứng. Nó không chỉ giúp ta nhận biết hình dạng đồ thị mà còn hỗ trợ việc biện luận nghiệm, khảo sát sự biến thiên và các bài toán ứng dụng thực tế.
2. Định nghĩa tiệm cận đứng của hàm phân thức
Để hiểu rõ, trước tiên ta nhắc lại: Hàm phân thức là hàm có dạng với,là các đa thức và .
Khitiến tới giá trị nào đó làm mẫu bằng(tức), mà tử số , hàm số có thể "phóng đại" lênhoặc. Khi đó, đường thẳng được gọi làtiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cụ thể, ta có:
Đường thẳnggọi làtiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu:
Tại, hàm số không xác định, và một trong hai giới hạnhoặc
tồn tại.
3. Cách xác định tiệm cận đứng với ví dụ minh họa
Để xác định tiệm cận đứng của hàm phân thức, ta làm tuần tự các bước sau:
- Bước 1: Tìm các giá trị làm(mẫu số bằng 0) nhưng.
- Bước 2: Xét giới hạn củakhitiến tới từng giá trị này từ bên trái và bên phải.
- Bước 3: Nếu giới hạn kéo về hoặc, kết luận đường thẳnglà tiệm cận đứng.
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của hàm số
Giải:
- Tìm mẫu số:, đồng thời tử số khi.
- Xét giới hạn:
-
- - Kết luận: Đường thẳnglà tiệm cận đứng.
Ví dụ 2: Xét hàm.
- Mẫu số hoặc.
- Tử số khivà khi. Nên tại hai điểm này, tử số khác 0.
- Vậy cả và đều là tiệm cận đứng.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xác định tiệm cận đứng
- Nếuvà : Tử số và mẫu số cùng bằng 0 tại, cần rút gọn trước khi xét tiệm cận đứng.
- Nếu sau khi rút gọn, mẫu vẫn bằng 0 và tử khác 0 tạithì vẫn là tiệm cận đứng.
- Nếu sau khi rút gọn, mẫu không bằng 0 thì chỉ là điểm loại bỏ được, không phải tiệm cận.
Ví dụ 3:
Ta có:nênvới.
Tại, tử số và mẫu số cùng bằng, nhưng sau khi rút gọn mẫu không còn bằng, nênkhông phải tiệm cận đứng.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
- Tiệm cận ngang: Là đường thẳngmà đồ thị tiến gần khihoặc. Hàm phân thức có thể có đồng thời tiệm cận đứng và ngang.
- Tiệm cận xiên: Với hàm phân thức bậc tử số lớn hơn bậc mẫu số một đơn vị.
- Liên quan tiếp cận vô cực: Tiệm cận đứng là chỗ hàm số "phóng đại" vô cùng khitiến gần giá trị đặc biệt.
6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài 1: Xác định tiệm cận đứng của các hàm số sau:
- a)
- b)
Lời giải:
a) Mẫu số
. Tử số
tại
bằng$2$, tại
bằng
(đều khác$0$).
=> Tiệm cận đứng:
,
.
b) Tử số
. Rút gọn với mẫu
được
, nhưng tại
, cả tử và mẫu đều bằng$0$.
Sau rút gọn, mẫu không còn bằng$0$. Vậy
chỉ là điểm loại bỏ được, không phải tiệm cận đứng.
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
- Chưa rút gọn phân thức trước khi tìm tiệm cận đứng (dễ bỏ sót hoặc xác định sai).
- Không xét giá trị mẫu số và tử số tại điểm nghi vấn, dẫn đến sai kết luận.
- Nhầm lẫn điểm loại bỏ được (hàm xác định lại sau rút gọn) với tiệm cận đứng.
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
• Tiệm cận đứng của hàm phân thứclà sao cho,, sau khi đã rút gọn tối giản.
• Phải kiểm tra và rút gọn phân thức trước khi xác định tiệm cận đứng.
• Luôn đối chiếu cả tử và mẫu tại điểm cần xét để tránh xác định sai.
• Nên làm nhiều ví dụ thực hành để thành thạo cách xác định tiệm cận đứng của hàm phân thức.
Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu và vận dụng hiệu quả khi giải các dạng toán về tiệm cận đứng của hàm phân thức trong chương trình Toán lớp 12!
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại