Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm và bảng biến thiên: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở phần Giải tích, "Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm và bảng biến thiên" là một kiến thức trọng tâm. Đây là nội dung nền tảng giúp học sinh khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, đồng thời là kỹ năng bắt buộc trong các đề thi THPT Quốc gia và vào Đại học.

Hiểu rõ khái niệm và thao tác tìm điểm cực trị sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán xử lý hàm số, từ đó dễ dàng vận dụng vào thực tiễn như tối ưu hoá trong kinh tế, vật lý, kỹ thuật. Ngoài ra, thành thạo kỹ năng này còn quyết định điểm số trong các bài thi quan trọng.

Bạn có thể luyện tập với 42.226+ bài tập miễn phí ngay trên hệ thống và theo dõi sự tiến bộ của mình.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Điểm cực trị của hàm số là những điểm tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng lân cận.

- Giả sử $y = f(x)$có đạo hàm trên khoảng$I$, điểm$x_0 \in I$là điểm cực trị nếu$f'(x_0 ) = 0$và $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua$x_0$.

- Các định lý chính: Định lý Fermat, dấu hiệu với đạo hàm cấp hai.

- Điều kiện cần:$f'(x_0)=0$. Điều kiện đủ:$f'(x)$ đổi dấu qua$x_0$. Chú ý: Không phải mọi nghiệm của$f'(x)=0$ đều là điểm cực trị!.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức xác định điểm cực trị: Giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm$x_0$.

- Xét dấu của$f'(x)$ ở hai bên mỗi nghiệm để kết luận đó là cực đại hay cực tiểu (sử dụng bảng biến thiên).

- Công thức đạo hàm phổ biến:$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$;$\left[ f(g(x)) \right]'= f'(g(x)) \cdot g'(x)$,…

- Để ghi nhớ, học sinh nên luyện vẽ bảng biến thiên và thói quen kiểm tra dấu đạo hàm.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hàm số $y = x^3 - 3x + 1$. Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

Bước 1: Tính đạo hàm$y' = 3x^2 - 3$.

Bước 2: Giải$y'=0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1, x = 1$.

Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm để xác định cực đại, cực tiểu:

- Khi$x < -1$,$y' > 0$;$-1 < x < 1$,$y' < 0$;$x > 1$,$y' > 0$.

=>$x=-1$là cực đại,$x=1$là cực tiểu.

Bước 4: Tính giá trị cực đại, cực tiểu:

+$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 +3 + 1 = 3$(Cực đại)

+$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$(Cực tiểu)

Lưu ý: Luôn kiểm tra dấu đạo hàm để xác định đúng cực trị.

3.2 Ví dụ nâng cao

Tìm cực trị của hàm$y = \frac{2x^2 + 3}{x-1}$($x \neq 1$).

Bước 1: Tính đạo hàm:

$y' = \frac{(4x)(x-1) - (2x^2+3) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{4x(x-1) - 2x^2 - 3}{(x-1)^2}$

$= \frac{4x^2 - 4x - 2x^2 - 3}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 3}{(x-1)^2}$

Bước 2: Giải$y' = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x - 3 = 0$.

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

Bước 3: Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm để kết luận loại cực trị.

Chú ý phép chia mẫu$x-1 \neq 0$. Áp dụng kỹ thuật kiểm tra dấu đạo hàm bên trái - phải nghiệm vừa tìm.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Hàm số có thể không có cực trị nếu phương trình$f'(x)=0$vô nghiệm hoặc nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định.

- Tại điểm không xác định hoặc điểm biên, cần kiểm tra giới hạn một bên.

- Cực trị có thể trùng nếu$f'(x)$có nghiệm bội chẵn và đổi dấu.

- Mối liên hệ với bài toán GTLN, GTNN: Các điểm cực trị thường là ứng viên cho giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên đoạn.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn điểm có đạo hàm bằng 0 là điểm cực trị.

- Không kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.

=> Cần đối chiếu với lý thuyết để tránh nhầm lẫn.

5.2 Lỗi về tính toán

- Bỏ sót nghiệm hoặc nhầm dấu khi xét bảng biến thiên.

- Lỗi khi nhập công thức đạo hàm hoặc giải phương trình.

=> Luôn kiểm tra lại bước giải và đánh dấu các giá trị cần chú ý.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm và bảng biến thiên miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Hệ thống giúp theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng cực nhanh!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.

- Giải$f'(x)=0$và xét dấu đạo hàm hai bên nghiệm.

- Vẽ bảng biến thiên đầy đủ.

- Không bỏ sót các trường hợp đặc biệt.

Checklist trước khi làm bài:

+ Xác định điều kiện xác định.

+ Tính đạo hàm và giải$f'(x)=0$.

+ Xét dấu đạo hàm, vẽ bảng biến thiên.

+ Kết luận và kiểm tra kết quả.

Hãy luyện tập thường xuyên để "học Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm và bảng biến thiên miễn phí" đạt hiệu quả tốt nhất!