Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một khoảng hoặc đoạn là kiến thức trọng tâm. Kỹ năng này thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và các bài tập ứng dụng thực tế. Ngoài phương pháp đại số truyền thống, việc sử dụng máy tính cầm tay trở thành một công cụ hữu hiệu giúp giải nhanh, kiểm tra đáp số và tiết kiệm thời gian, đặc biệt với các hàm số phức tạp hoặc kiểm tra trắc nghiệm.

2. Định nghĩa và ý nghĩa khái niệm

Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên đoạn$[a; b]$. Giá trị lớn nhất (GTLN) là số lớn nhất trong các giá trị $f(x)$khi$x$chạy trong$[a; b]$; ngược lại, giá trị nhỏ nhất (GTNN) là số nhỏ nhất trong các giá trị $f(x)$trên đoạn đó. Ký hiệu:

$\max_{x \in [a;b]} f(x), \qquad \min_{x \in [a;b]} f(x)$

Hiểu và tìm đúng hai giá trị này giúp học sinh giải quyết các bài toán về tối ưu hóa, áp dụng trong thực tế như tìm lợi nhuận lớn nhất, chi phí nhỏ nhất, v.v.

3. Phương pháp giải nhanh bằng máy tính cầm tay

Có hai phương pháp thường gặp khi sử dụng máy tính cầm tay Casio (FX-570VN Plus hoặc các dòng tương đương):

- Phương pháp lập bảng giá trị (Table)
- Phương pháp giải phương trình đạo hàm (Mode EQN/SOLVE)

Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước qua một ví dụ minh họa.

4. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$trên đoạn$[0;3]$.

Bước 1: Thiết lập hàm số trên máy tính (chế độ TABLE)

- Bấm MODE → chọn 7 (TABLE).
- Nhập hàm$x^3-3x^2+2$(nhập x bằng nút X trên máy tính).
- Nhập Start: 0; End: 3; Step: 0.1 hoặc 0.2 (tùy mức độ chi tiết muốn kiểm tra).

- Máy sẽ xuất ra một bảng giá trị. Quan sát cột$x$và các giá trị $y$tương ứng.
- Tìm giá trị $y$lớn nhất và nhỏ nhất trong bảng.

Bước 2: Kiểm tra các giá trị tại biên và nghiệm đạo hàm

- Tính các giá trị $f(0)$,$f(3)$:

$f(0)=0^3-3 \times 0^2 + 2=2$
$f(3)=3^3-3 \times 3^2 +2=27-27+2=2$

- Tính đạo hàm$f'(x)=3x^2-6x$
- Giải phương trình$f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2-6x=0 \Rightarrow x=0$hoặc$x=2$
- Xét$x=2$thuộc$[0;3]$, tính$f(2)=2^3-3 \times 2^2+2=8-12+2=-2$

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất:$f(0)=f(3)=2$
- Giá trị nhỏ nhất:$f(2)=-2$

Bước 3: Sử dụng chế độ SOLVE để giải nghiệm đạo hàm

- Bấm MODE → chọn 5 (EQUA) → chọn 1 (POLY) → độ bậc 2 vì $f'(x)=3x^2-6x$
- Nhập hệ số:$a=3$,$b=-6$,$c=0$
- Máy tính xuất nghiệm$x=0$,$x=2$.

Do$x$phải thuộc đoạn$[0;3]$. Từ đó tính$f(0)$,$f(2)$,$f(3)$như ở trên để chọn ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

5. Một số trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu hàm số không liên tục trên đoạn khảo sát hoặc có điểm loại trừ, cần kiểm tra kỹ các điểm ở "biên" và các điểm nghi ngờ đặc biệt.
- Nếu STEP (bước nhảy) khi lập bảng giá trị quá lớn, có thể bỏ sót cực trị. Nên chọn STEP nhỏ vừa phải (0.1 hoặc 0.2).
- Nếu bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng mở (a; b), không xét giá trị tại$a$và $b$.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Về bản chất, tìm GTLN và GTNN sử dụng đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực trị và so sánh với giá trị tại biên.
- Khái niệm này liên hệ chặt chẽ với kiến thức đạo hàm, khảo sát sự biến thiên, tính đồng biến/ nghịch biến của hàm số, và ứng dụng tối ưu hóa.
- Máy tính cầm tay giúp kiểm chứng nhanh kết quả định lý Fermat về cực trị.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của$y = x^2 - 4x + 5$trên đoạn$[1;5]$.

Giải:
-$f'(x)=2x-4=0\implies x=2$
- Các điểm cần xét:$x=1$,$x=2$,$x=5$
- Tính:
$f(1) = 1^2 -4 \times 1 +5 = 1-4+5=2$
$f(2) = 2^2 -4 \times 2 +5 = 4-8+5=1$
$f(5) = 5^2 -4 \times 5 + 5 = 25-20+5=10$
⇒ GTLN là $10$tại$x=5$, GTNN là $1$tại$x=2$.

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của$y = -x^2 + 2x + 3$trên đoạn$[0;2]$.

Giải:
-$f'(x) = -2x + 2 = 0 \implies x=1$
- Các điểm:$x=0$,$x=1$,$x=2$
-$f(0)=3$,$f(1)=-1+2+3=4$,$f(2)=-4+4+3=3$
⇒ GTLN là $4$tại$x=1$, GTNN là $3$tại$x=0$hoặc$x=2$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhập sai hàm số vào máy tính, dẫn đến đáp án sai hoàn toàn. Phải nhập đúng dấu và kiểm tra lại.
- Quên xét giá trị tại các điểm biên$a$,$b$hoặc nghiệm đạo hàm không thuộc đoạn đã cho.
- STEP quá lớn hoặc quá nhỏ: Nên dùng STEP phù hợp để thấy hết các giá trị cần khảo sát.
- Nhầm lẫn giữa GTLN và GTNN khi ghi kết luận. Nên lập bảng giá trị cẩn thận và kiểm tra lại.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Xác định đúng hàm số, đoạn khảo sát và sử dụng máy tính theo đúng chức năng bảng giá trị hoặc giải phương trình.
- Kiểm tra đáp án bằng cả công thức và máy tính để đảm bảo chắc chắn.
- Nhớ luôn xét các giá trị tại biên và các nghiệm đạo hàm thuộc đoạn khảo sát.

Sử dụng thành thạo máy tính cầm tay để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sẽ giúp các em làm bài thi THPT Quốc gia tự tin, chính xác và tiết kiệm thời gian.