Tìm GTLN và GTNN trên đoạn bằng quan sát bảng giá trị – Hướng dẫn chi tiết

Bài viết này hướng dẫn học sinh lớp 12 cách tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên đoạn bằng quan sát bảng giá trị. Phương pháp này giúp nhanh chóng xác định giá trị cực trị mà không cần tính đạo hàm hay phân tích tính đơn điệu phức tạp.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, việc xác định GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng hay đoạn là kỹ năng cơ bản, giúp giải quyết nhiều bài toán thực tiễn và tăng cường tư duy phân tích. Phương pháp quan sát bảng giá trị phù hợp khi hàm số đơn giản hoặc đã biết giá trị tại những điểm đặc biệt.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Cho hàm số $f$xác định và liên tục trên đoạn$[a,b]$. Ta gọi Giá trị lớn nhất (GTLN) của$f$trên$[a,b]$là số $M$sao cho$f(x)\le M$với mọi$x \in [a,b]$và tồn tại$x_0 \in [a,b]$sao cho$f(x_0)=M$. Tương tự, Giá trị nhỏ nhất (GTNN) là số $m$sao cho$f(x)\ge m$với mọi$x \in [a,b]$và tồn tại$x_1 \in [a,b]$sao cho$f(x_1)=m$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để tìm GTLN và GTNN trên$[a,b]$bằng bảng giá trị, ta thực hiện:

Bước 1: Xác định các điểm quan trọng gồm: các điểm đầu mút$x=a, x=b$và các điểm nội bộ nơi hàm số có khả năng đạt cực trị (nếu đã tính đạo hàm hoặc dự đoán từ tính đơn điệu).

Bước 2: Lập bảng giá trị: liệt kê từng điểm quan trọng và tính$f(x)$tại mỗi điểm.

Bước 3: Quan sát bảng, so sánh các giá trị $f(x)$ để xác định M (lớn nhất) và m (nhỏ nhất).

Ví dụ minh họa: Tính GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=x^3-3x$trên đoạn$[-2,2]$.

– Bước 1: Các điểm quan trọng: đầu mút$x=-2,2$; điểm nội bộ: nghiệm của$f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x= \pm 1$.

– Bước 2: Bảng giá trị:

| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|-----|----|----|---|---|---|
| f(x)| -2 | 2 | 0 | -2 | 2 |

– Bước 3: Trong các giá trị $\{-2,2,0,-2,2\}$, GTLN là $2$ đạt tại$x= -1,2$; GTNN là $-2$ đạt tại$x=-2,1$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Hàm số đơn điệu trên toàn đoạn: khi hàm toàn tăng (hoặc giảm), GTLN và GTNN là giá trị tại một trong hai đầu mút.
• Hàm số không liên tục tại một số điểm: phương pháp này không áp dụng cho hàm gián đoạn.
• Khi không tính đạo hàm: chỉ chọn đầu mút và một số điểm có tính chất đặc biệt (điểm gãy, điểm chuyển biến).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Định lý Fermat: nếu$f$có cực trị tại$x_0$nằm trong khoảng mở, thì $f'(x_0)=0$hoặc không xác định.
– Tính đơn điệu và máy phát dấu của$f'$: giúp xác định nhanh vùng tăng giảm và các điểm có thể xảy ra cực trị.
– Định lý giá trị lớn nhất – nhỏ nhất: hàm liên tục trên đoạn đóng đạt cả GTLN và GTNN.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$f(x)=2x^2-x-1$trên$[-1,2]$. Tìm GTLN và GTNN.

– Điểm quan trọng:$x=-1,2$;$f'(x)=4x-1=0 \Rightarrow x=\tfrac14$(nằm trong đoạn).
– Bảng giá trị:

| x | -1 | 1/4 | 2 |
|---|----|------|---|
| f(x) | 2(1)-(-1)-1=2+1-1=2 | 2(1/16)-1/4-1=1/8-1/4-1=-9/8 | 8-2-1=5 |

⇒ GTLN=5 tại$x=2$, GTNN=$-\tfrac{9}{8}$tại$x=\tfrac14$.

Bài 2: Cho $f(x)=\sqrt{x+1}$trên$[0,3]$. Tìm GTLN, GTNN.

– Điểm quan trọng: đầu mút$0,3$. Không có điểm nội bộ đặc biệt (đạo hàm không ràng buộc giới hạn).
– Tính:$f(0)=1$,$f(3)=2$.
⇒ GTNN=1 tại$x=0$, GTLN=2 tại$x=3$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra đầu mút: luôn đưa$x=a,b$vào bảng.
• Không xét điểm nội bộ khi có cực trị: nếu tính được$f'(x)=0$nằm trong đoạn, phải tính giá trị tại đó.
• Đánh giá sai giá trị hàm: chú ý phép tính chính xác, đặc biệt với căn bậc và phân số.
• Áp dụng cho hàm gián đoạn: bảng giá trị không đại diện đầy đủ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

1. Xác định các điểm quan trọng (đầu mút và điểm khả nghi).
2. Lập bảng giá trị và tính đúng$f(x)$.
3. Quan sát bảng để chọn giá trị lớn nhất (GTLN) và nhỏ nhất (GTNN).
4. Chỉ áp dụng khi hàm liên tục trên đoạn.
5. Kết hợp kiến thức đạo hàm để xác định điểm nội bộ.