1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, thuộc Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một dạng toán xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia và cả các kỳ thi học sinh giỏi.

Việc hiểu rõ cách tìm GTLN - GTNN trên đoạn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán thực tế như: tối ưu hóa chi phí, diện tích, thể tích,... cũng như xây dựng nền tảng vững chắc cho các khái niệm nâng cao về đạo hàm và khảo sát hàm số.

Bạn hoàn toàn có thể luyện tập Tìm GTLN - GTNN trên đoạn miễn phí với hàng trăm bài tập thực hành. Lời giải chi tiết, không cần đăng ký, giúp bạn học tập hiệu quả và theo dõi tiến độ tiến bộ của mình!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$liên tục trên đoạn$[a; b]$. Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm trên đoạn là $M = \max\{f(x) | x \in [a; b]\}$, giá trị nhỏ nhất (GTNN) là $m = \min\{f(x) | x \in [a; b]\}$.
• Định lý Weierstrass: Nếu hàm số $f(x)$liên tục trên đoạn$[a; b]$thì luôn tồn tại$x_1, x_2 \in [a; b]$sao cho$M = f(x_1)$là GTLN và $m = f(x_2)$là GTNN trên đoạn đó.

• Điều kiện áp dụng: Hàm số phải liên tục trên$[a; b]$(liên tục tại mọi điểm trong đoạn).
• Giới hạn: Nếu hàm gián đoạn trên$[a; b]$, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể không tồn tại.

2.2. Công thức và quy tắc

• Các bước tìm GTLN - GTNN trên đoạn$[a; b]$cho hàm$y = f(x)$:

• Tính$f(a)$và $f(b)$(giá trị tại các đầu đoạn)
• Tìm nghiệm$x_0$của phương trình$f'(x) = 0$thuộc$(a; b)$(các điểm cực trị trong đoạn, loại nghiệm ngoài$(a; b)$)
• Tính$f(x_0)$với các$x_0$vừa tìm
• So sánh tất cả các giá trị trên, GTLN là giá trị lớn nhất, GTNN là giá trị nhỏ nhất.

• Ghi nhớ công thức: chỉ cần thuộc các bước và nắm vững việc đạo hàm tìm "điểm cực trị".

• Điều kiện: Áp dụng cho mọi hàm liên tục trên đoạn kín$[a; b]$.
• Biến thể: Một số bài toán hỏi giá trị lớn nhất của$|f(x)|$, hoặc tối đa hóa diện tích, chu vi,... bạn cần linh hoạt chuyển bài toán về dạng cơ bản.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1. Ví dụ cơ bản

- Bước 1: Tính$f(0) = 0^2 - 4 \,. \, 0 + 5 = 5$
- Bước 2: Tính$f(3) = 3^2 - 4 \,. \, 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$
- Bước 3: Tính đạo hàm$f'(x) = 2x - 4$. Giải$f'(x) = 0$ightarrow$2x - 4 = 0$ightarrow$x = 2$
-$x = 2$thuộc$(0;3)$nên hợp lệ. Tính$f(2) = (2)^2 - 4 \,. \, 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
- So sánh:$f(0) = 5$,$f(2) = 1$,$f(3) = 2$
⇒ GTLN trên$[0;3]$là $5$tại$x=0$, GTNN là $1$tại$x=2$.

Lưu ý: Luôn kiểm tra giá trị ở cả hai đầu đoạn và các điểm cực trị bên trong đoạn.

3.2. Ví dụ nâng cao

- Tính$f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$
- Tính$f(3) = 27 - 27 + 4 = 4$
- Đạo hàm:$f'(x) = 3x^2 - 6x$, giải$3x^2 - 6x = 0 \rightarrow x(x-2) = 0$⇒$x = 0$hoặc$x = 2$
-$x=2$là điểm cực trị thuộc$(0;3)$.$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$
- Các giá trị:$f(0)=4$,$f(2)=0$,$f(3)=4$
- GTLN là $4$tại$x=0$và $x=3$, GTNN là $0$tại$x=2$.

Kỹ thuật nhanh: Nếu hàm phức tạp, sử dụng máy tính hoặc bảng biến thiên để kiểm tra giá trị tại những điểm cần thiết.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Hàm số không liên tục (gián đoạn tại một điểm trong đoạn): Không áp dụng được định lý Weierstrass, phải kiểm tra cẩn thận từng khoảng liên tục.
- Hàm số chỉ có cực trị tại đầu đoạn: Khi$f'(x) = 0$không có nghiệm trong$(a; b)$, chỉ so sánh$f(a)$và $f(b)$.
- Liên hệ với các khái niệm khác: Biến bài toán GTLN - GTNN thành tìm điểm cực trị của hàm số nếu bài toán cho biết thêm điều kiện.

- Một số bài toán yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN của$|f(x)|$,$(f(x))^2$,... cần biến đổi về dạng cơ bản rồi thực hiện các bước trên.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1. Lỗi về khái niệm

• Quên kiểm tra liên tục trên đoạn
• Nhầm giữa 'cực trị trên đoạn' và 'GTLN - GTNN trên đoạn'
• Không kiểm tra giá trị tại cả hai đầu đoạn

Cách tránh: Mỗi khi gặp bài tập, lập danh sách các điểm cần xét (đầu đoạn, các nghiệm đạo hàm trong đoạn) rồi tính tất cả giá trị, so sánh để kết luận.

5.2. Lỗi về tính toán

• Tính sai đạo hàm
• Tính toán nhầm các giá trị đầu đoạn hoặc tại điểm cực trị
• Quên loại nghiệm ngoài$(a; b)$

Phương pháp kiểm tra kết quả: Sau khi có đáp số, thay ngược vào hàm để đối chiếu và sử dụng máy tính nếu cần thiết.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập ngay kho bài tập Tìm GTLN - GTNN trên đoạn miễn phí với đầy đủ lời giải chi tiết. Bạn sẽ được thực hành với hàng trăm bài toán sát chương trình, không cần đăng ký! Theo dõi tiến độ dễ dàng, luyện tập mỗi ngày để cải thiện kỹ năng và đạt điểm cao trong kỳ thi.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• GTLN - GTNN trên đoạn áp dụng cho hàm liên tục trên đoạn kín$[a; b]$
• Cần xét các điểm:$a$,$b$, các nghiệm$f'(x) = 0$thuộc$(a; b)$
• Luôn so sánh giá trị tại các điểm trên để chọn đáp án đúng

Checklist ôn tập:
- Nắm vững định nghĩa và quy tắc
- Luyện tập cách tính đạo hàm chính xác
- Kiểm tra kỹ lưỡng từng bước giải
- Thường xuyên luyện tập với các dạng bài khác nhau
Lên kế hoạch học tập hợp lý để chinh phục trọn vẹn dạng toán quan trọng này!