Tìm Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất của Hàm Số trên Đoạn – Hướng Dẫn Toàn Diện cho Lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của vấn đề tìm GTLN - GTNN trên đoạn

Trong chương trình Toán lớp 12, việc tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn là một chủ đề rất quan trọng. Đây không chỉ là một kỹ năng quan trọng để giải các bài toán khảo sát hàm số mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tiễn và các kỳ thi lớn như THPT Quốc gia hay Đại học. Khái niệm này giúp học sinh hiểu sâu hơn về cách vận dụng đạo hàm, cực trị và tính liên tục của hàm số trong các bài toán thực tế.

2. Định nghĩa chính xác về GTLN và GTNN trên đoạn [a; b]

Cho hàm số $f(x)$xác định và liên tục trên đoạn$[a; b]$. Khi đó, GTLN của$f(x)$trên$[a; b]$là số lớn nhất trong các giá trị $f(x)$khi$x$chạy trên$[a; b]$, ký hiệu là:

$M = \max\limits_{x \in [a; b]} f(x)$là GTLN trên$[a; b]$.
$m = \min\limits_{x \in [a; b]} f(x)$là GTNN trên$[a; b]$.

Nói cách khác, GTLN và GTNN là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên đoạn xét.

3. Quy trình tìm GTLN - GTNN trên đoạn – Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

1. Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn$[a; b]$.
2. Bước 2: Tính đạo hàm$f'(x)$, giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị trong$[a; b]$.
3. Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm: hai đầu đoạn$a$,$b$và các điểm tìm được ở Bước 2 thuộc$[a; b]$.
4. Bước 4: So sánh các giá trị tính được, chọn giá trị lớn nhất là GTLN, giá trị nhỏ nhất là GTNN trên đoạn.

Ví dụ minh họa: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x) = x^2 - 2x + 3$trên đoạn$[0; 2]$.

1. Hàm số $f(x)$là hàm bậc hai nên liên tục trên$[0; 2]$.
2. Tính đạo hàm:$f'(x) = 2x - 2$.
3. Giải$f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$(nằm trong$[0; 2]$).
4. Tính$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$,$f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$,$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$.
5. So sánh: lớn nhất là 3, nhỏ nhất là 2. Vậy GTLN là 3 (tại$x=0$hoặc$x=2$), GTNN là 2 (tại$x=1$).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu điểm tìm được từ $f'(x) = 0$không thuộc đoạn$[a; b]$, chỉ xét$f(a)$và $f(b)$.
• Nếu hàm số không liên tục trên$[a; b]$, có thể không có GTLN, GTNN.
• Đôi khi, bài toán yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN trên khoảng$(a; b)$, lúc này cần chú ý không lấy giá trị tại hai đầu đoạn.
• Có thể gặp các trường hợp cực trị rơi ngay tại hai đầu đoạn.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tìm GTLN, GTNN trên đoạn là ứng dụng trực tiếp của định lý Weierstrass – "Nếu một hàm số liên tục trên một đoạn đóng thì luôn đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó".
- Bài toán này liên quan mật thiết với cực trị hàm số, khảo sát bảng biến thiên và đạo hàm.
- Là cơ sở cho các bài toán thực tế như tối ưu hóa chi phí, lợi nhuận, diện tích, thể tích,... trong kinh tế, vật lý, kỹ thuật.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = -x^2 + 2x + 1$trên$[0; 2]$.

1. Hàm số liên tục trên$[0; 2]$.
2. $f'(x) = -2x + 2$; giải$f'(x)=0$ được$x = 1$.
3. $f(0) = -(0)^2 + 2<em>0 + 1 = 1$;$f(1) = -(1)^2 + 2</em>1 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$;$f(2) = -(2)^2 + 2*2 + 1 = -4 + 4 + 1 = 1$.
4. Vậy GTLN là 2 (tại$x=1$); GTNN là 1 (tại$x=0$và $x=2$).

Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$trên$[0; 3]$.

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$;$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=0$hoặc$x=2$.
2. Các điểm kiểm tra:$x=0$,$x=2$,$x=3$.
3. $f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$;$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$;$f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$.
4. So sánh: GTLN = 2 (tại$x=0, x=3$), GTNN = -2 (tại$x=2$).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra điểm ở hai đầu đoạn$a$và $b$.
• Chọn những điểm cực trị nằm ngoài đoạn xét.
• Lỗi tính đạo hàm hoặc giải phương trình$f'(x) = 0$sai.
• Quên điều kiện liên tục của hàm số trên đoạn.

8. Tóm tắt và các điểm cần ghi nhớ

- GTLN và GTNN trên đoạn chỉ xác định được khi hàm số liên tục trên đoạn đó.
- Luôn kiểm tra giá trị tại hai đầu đoạn và các điểm cực trị trong đoạn.
- Ứng dụng mạnh mẽ trong các bài toán tối ưu và nhiều lĩnh vực thực tiễn.
- Phát hiện và tránh các lỗi thường gặp giúp giải bài tập chính xác hơn.

Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu rõ và giải quyết tốt các dạng bài toán tìm GTLN, GTNN cho hàm số trên đoạn trong chương trình Toán lớp 12!

Từ khóa: Tìm GTLN - GTNN trên đoạn, Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, Hướng dẫn toán 12, Bài tập mẫu GTLN - GTNN, Toán THPT.