Blog

Lớp 12

Tìm Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất của Hàm Số trên Khoảng Mở: Khái Niệm, Ví Dụ và Kinh Nghiệm Giải Bài Toán

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán “Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một khoảng mở” thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, kiểm tra và là kiến thức nền tảng quan trọng để học tiếp các chuyên đề Giải tích. Việc hiểu rõ khái niệm và cách xác định GTLN - GTNN không chỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, kỹ năng áp dụng đạo hàm mà còn gắn bó chặt chẽ với ứng dụng thực tiễn như phân tích tối ưu hóa trong kinh tế, vật lý, kỹ thuật.

2. Định nghĩa chính xác

Cho hàm số y=f(x)y = f(x)xác định trên khoảng mở (a;b)(a; b). Nếu tồn tạix0 ∈(a;b)x_0 \ \in (a; b)sao chof(x0)≥f(x)f(x_0) \geq f(x)(hoặcf(x0)≤f(x)f(x_0) \leq f(x)) với mọix ∈(a;b)x \ \in (a; b), thì:

  • -f(x0)f(x_0) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) (hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN)) củaf(x)f(x)trên(a;b)(a; b).
  • - Nếu không tồn tạix0x_0thỏa mãn trên thì ta nói hàm số không đạt GTLN hoặc GTNN trên(a;b)(a; b).

    • Lưu ý: Trên khoảng mở, hàm số không nhất thiết luôn đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất do các điểm đầu mút không được xét đến.

    3. Quy trình giải bài toán tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

  • Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số trên khoảng đã cho.
  • Bước 2: Tính đạo hàmf′(x)f'(x)và giải phương trìnhf′(x)=0f'(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trong(a;b)(a; b).
  • Bước 3: Xét thêm các điểm mà tại đó f(x)f(x)không xác định hoặc không liên tục (nếu có).
  • Bước 4: Tính giới hạnlim⁡x→a+f(x)\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)và lim⁡x→b−f(x)\lim_{x \to b^-} f(x) để xem xét giá trị của hàm số ở “cận” của khoảng.
  • Bước 5: So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị tìm được với giới hạn ở cận trái/phải để xác định GTLN hoặc GTNN (nếu có).

    • 4. Ví dụ minh họa chi tiết

    Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2trên khoảng(0;3)(0; 3).

    Giải:

    - Hàm số xác định trênR\mathbb{R}nên trên(0;3)(0; 3)xác định.

    - Đạo hàm:f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3. Giải2x−3=0⇒x=1.5∈(0;3)2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5 \in (0; 3).

    - Tính giá trị tạix=1.5x = 1.5:f(1.5)=(1.5)2−3⋅1.5+2=2.25−4.5+2=−0.25f(1.5) = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25

    - Xét giới hạn tại hai đầu khoảng:

  • lim⁡x→0+f(x)=02−3⋅0+2=2\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2
  • lim⁡x→3−f(x)=9−9+2=2\lim_{x \to 3^-} f(x) = 9 - 9 + 2 = 2

    • Kết luận: GTNN là −0.25-0.25tạix=1.5x = 1.5; GTLN không đạt vì f(x)f(x)chỉ tiến đến22khixxtiến đến0+0^+hoặc3−3^-nhưng không có giá trị xxnằm trong(0;3)(0;3)cho raf(x)=2f(x) = 2. Tuy nhiên, theo định nghĩa trong chương trình phổ thông, nhiều sách và đề thi vẫn chấp nhận nhận xét giá trị lớn nhất "tiến gần tới"22(nếu không yêu cầu "đạt được").

    Ví dụ 2: Tìm GTLN - GTNN củaf(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}trên(0;+∞)(0; +\infty).

    Đạo hàmf′(x)=−1x2<0f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0nên hàm nghịch biến, không có cực trị nội. Xét giới hạn hai đầu khoảng:

    • lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty,lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

    Kết luận: Trên(0;+∞)(0; +\infty), GTLN không tồn tại (hàm vượt lên dương vô cùng gầnx=0x=0), GTNN "tiến tới 0" khix→+∞x \to +\infty.

    5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Hàm số đạt GTLN hoặc GTNN nội trên(a;b)(a; b)nếu có điểm cực trị nằm trong khoảng và không bị chặn bởi giới hạn hai đầu.
  • Nếu hàm số tiến đến+f+fhoặc−f-f ở một đầu khoảng, GTLN/GTNN không đạt.
  • Hàm số liên tục và bị chặn trên(a;b)(a; b)chưa chắc đã đạt cực trị, do không xét đầu mút.
  • Với hàm số có nhiều cực trị, cần so sánh toàn bộ các giá trị cực trị trong khoảng và giới hạn hai đầu.

    • 6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Dùng kỹ năng tìm cực trị (max/min) của hàm số bằng đạo hàm.
  • Sử dụng giới hạn để xác định xu hướng của hàm số ở biên của khoảng.
  • Liên hệ với Định lý Weierstrass: Trên đoạn đóng[a;b][a; b], hàm liên tục luôn đạt GTLN và GTNN, nhưng trên khoảng mở thì không đảm bảo.

    • 7. Bài tập mẫu có lời giải

    Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xtrên(−1;2)(-1; 2).

    Giải:

    f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3. Giải3x2−3=0⇒x=±13x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1.

    -x=1∈(−1;2)x=1 \in (-1;2),x=−1x=-1không thuộc khoảng mở.

    f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2

    Xét giới hạn hai đầu:

  • lim⁡x→(−1)+f(x)=(−1)3−3(−1)=−1+3=2\lim_{x \to (-1)^+} f(x) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2
  • lim⁡x→2−f(x)=8−6=2\lim_{x \to 2^-} f(x) = 8 - 6 = 2

    • Kết luận: GTNN=−2=-2tạix=1x=1, GTLN "tiến tới"22khix→(−1)+x\to (-1)^+hoặcx→2−x\to2^-.

    Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=xx+1f(x) = \dfrac{x}{x+1}trên(0;+∞)(0; +\infty).

    Giải: Đạo hàmf′(x)=1(x+1)2>0f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0nên hàm đồng biến trên(0;+∞)(0; +\infty).

  • lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0
  • lim⁡x→+∞f(x)=1\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1

    • Kết luận: GTNN "tiến tới 0" khix→0+x \to 0^+, GTLN "tiến tới 1" khix→+∞x \to +\infty.

    8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Bỏ qua việc xét giới hạn tại cận của khoảng. Khi khoảng mở, nhiều hàm số không đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất ở nội điểm mà lại "tiến gần đến" giá trị ở cận.
  • Không kiểm tra đủ các điều kiện cực trị nằm trong khoảng đã cho.
  • Hiểu nhầm khái niệm "đạt" và "tiến đến" (cần chú ý định nghĩa toán học).

    • 9. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

  • Bài toán tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở cần kết hợp xét cực trị (giá trị đạt được tại nội điểm) với xét giới hạn ở hai đầu khoảng.
  • Không phải mọi hàm đều đạt GTLN hay GTNN trên khoảng mở.
  • Cần nhớ viết kèm giá trị và vị trí x đạt được hoặc mô tả "giá trị tiến tới ..." khi không có giá trị đạt.

    • Hi vọng bài viết giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán "Tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở" cũng như vận dụng cho các bài toán tối ưu giải tích khác!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".