Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng quan sát bảng giá trị: Khái niệm, hướng dẫn và ví dụ chi tiết

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn là một kỹ năng quan trọng, không chỉ để giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn trong ứng dụng thực tế và các đề thi. Phương pháp 'tìm GTLN và GTNN trên đoạn bằng quan sát bảng giá trị' là một phương pháp đơn giản, dễ thực hiện và đặc biệt hữu ích trong những trường hợp hàm số phức tạp, không dễ giải các phương trình đạo hàm hoặc khi sử dụng máy tính cầm tay. Phương pháp này cho phép kiểm tra giá trị hàm số tại các điểm nhất định trên đoạn, từ đó xác định được đâu là GTLN và GTNN một cách trực quan và chính xác.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên đoạn$[a; b]$. Khi đó, GTLN (ký hiệu là $M$) và GTNN (ký hiệu là $m$) của hàm số trên đoạn$[a; b]$ được định nghĩa như sau:

- Giá trị lớn nhất:$M = \max\{f(x) \mid x \in [a; b]\}$

- Giá trị nhỏ nhất:$m = \min\{f(x) \mid x \in [a; b]\}$

Với phương pháp quan sát bảng giá trị, ta xác định các giá trị $f(x)$tương ứng với những điểm đã chọn trong đoạn$[a; b]$, sau đó so sánh để tìm ra GTLN và GTNN.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Sau đây là các bước cụ thể để tìm GTLN và GTNN trên đoạn bằng quan sát bảng giá trị:

Bước 1: Xác định đoạn$[a; b]$cần khảo sát.

Bước 2: Lập bảng các giá trị của$x$trên đoạn đó. Thông thường ta chọn các điểm: hai đầu đoạn, các nghiệm của$f'(x) = 0$nằm trong đoạn, cũng như một số điểm đặc biệt nếu cần thiết (tuỳ bài toán).

Bước 3: Tính$f(x)$tại các giá trị $x$ đã chọn. Có thể sử dụng máy tính cầm tay hoặc tính trực tiếp.

Bước 4: So sánh các giá trị $f(x)$ để xác định GTLN (giá trị lớn nhất) và GTNN (giá trị nhỏ nhất) trên đoạn.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 5$trên đoạn$[1; 4]$.

+ Bước 1: Đoạn cần khảo sát là $[1; 4]$.

+ Bước 2: Tìm$x$để$f'(x) = 0$.

$f'(x) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$(nằm trong$[1;4]$).

+ Bước 3: Tính giá trị hàm số tại$x = 1$,$x = 2$và $x = 4$:

• $f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$
• $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$
• $f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$

+ Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính được:

$f(2) = 1$nhỏ nhất,$f(4) = 5$lớn nhất.

Vậy GTLN là $5$tại$x = 4$, và GTNN là $1$tại$x = 2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Hàm số không liên tục trên đoạn$[a; b]$: Khi hàm số không liên tục tại điểm nào đó trên đoạn, cần kiểm tra giá trị hàm số tại các điểm liên tục và các điểm 'biên', đồng thời nhớ loại trừ các điểm không xác định.
• Hàm số có nhiều cực trị trên đoạn: Đảm bảo kiểm tra tất cả nghiệm của$f'(x) = 0$và các điểm mà $f'(x)$không xác định nằm bên trong đoạn.
• Chỉ lấy các giá trị $x$thuộc đoạn$[a; b]$: Tránh lấy các nghiệm$f'(x) = 0$nằm ngoài đoạn.
• Đối với một số bài toán chỉ yêu cầu làm tròn giá trị, hãy chú ý chính xác số chữ số thập phân cần lấy.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm GTLN và GTNN liên quan mật thiết đến các kiến thức về đạo hàm (để tìm cực trị), về hàm số liên tục trên đoạn (theo định lý giá trị lớn nhất và nhỏ nhất), đồng thời là nền tảng ứng dụng trong các bài toán tối ưu kinh tế, vật lý cũng như trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi...

Thực tế, tìm GTLN và GTNN là bước đầu tiên quan trọng trong phân tích đồ thị hàm số, các bài toán tối ưu, ứng dụng phương trình đạo hàm cấp cao, cũng như giải các bài toán thực tế như bài toán sản lượng tối đa, diện tích lớn nhất, v.v.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$trên đoạn$[0; 4]$.

Giải:

+$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = 2$

+ Các điểm cần xét:$x = 0, 1, 2, 4$.

Vậy GTLN là $13$tại$x = 4$, GTNN là $-3$tại$x = 0$.

Bài tập 2:

Tìm GTLN và GTNN của $f(x) = \sqrt{x}$trên đoạn$[1; 9]$.

Hàm đồng biến trên$[1;9]$, kiểm tra tại hai đầu đoạn:

• $f(1) = 1$
• $f(9) = 3$

Vậy GTNN là $1$tại$x = 1$, GTLN là $3$tại$x = 9$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra giá trị hàm số tại các đầu đoạn$a$,$b$.
• Lấy nghiệm$f'(x) = 0$ngoài đoạn khảo sát.
• Không kiểm tra thao tác tính giá trị chính xác (đặc biệt khi sử dụng máy tính).
• Nhầm lẫn giữa GTLN/GTNN với các giá trị cực đại/cực tiểu (giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số chỉ xét trên đoạn cho trước!).
• Không chú ý điều kiện xác định của hàm số trên đoạn đã cho.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Để tìm GTLN/GTNN của hàm số trên đoạn$[a; b]$, cần xét giá trị hàm số tại các điểm: hai đầu đoạn, nghiệm$f'(x) = 0$và nghiệm$f'(x)$không xác định nằm trong đoạn.
• So sánh các giá trị đã tính để xác định GTLN/GTNN.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định và sự liên tục của hàm số trên đoạn.
• Phương pháp quan sát bảng giá trị phù hợp cả khi sử dụng máy tính và giải tự luận.