Blog

Lớp 12

Tìm Tâm và Bán Kính từ Phương Trình Mặt Cầu – Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, mặt cầu là một đối tượng hình học quan trọng xuất hiện trong nhiều dạng bài tập cũng như ứng dụng thực tiễn. Việc xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình cung cấp nền tảng để giải các bài toán tính khoảng cách, diện tích, thể tích, vị trí tương đối giữa các đối tượng trong không gian,… Đây là kiến thức bắt buộc, phục vụ cho cả kiểm tra trên lớp, thi tốt nghiệp, đại học và các kỳ thi học sinh giỏi.

Định nghĩa và dạng tổng quát phương trình mặt cầu

Mặt cầu trong không gian Oxyz là tập hợp tất cả các điểmM(x,y,z)M(x, y, z)thỏa mãn điều kiện: khoảng cách từ MM đến điểmI(a,b,c)I(a, b, c)là một hằng số không đổiRR, gọi là bán kính mặt cầu. Khi đó,I(a,b,c)I(a, b, c)là tâm của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu tâmI(a,b,c)I(a, b, c), bán kínhRRcó dạng:

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

Phát triển, ta có phương trình tổng quát của mặt cầu:

x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

Ở đây,(a,b,c)(a, b, c)và ddlà các tham số cần xác định, liên quan đến tâm và bán kính mặt cầu.

Hướng dẫn từng bước xác định tâm và bán kính mặt cầu

Giả sử đề bài cho phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát:

x2+y2+z2+2a0x+2b0y+2c0z+d=0x^2 + y^2 + z^2 + 2a_0x + 2b_0y + 2c_0z + d = 0

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

  • Bước 1: So sánh phương trình với dạng chuẩn để xác định tâm(a,b,c)(a, b, c).
  • Bước 2: Tìm các tọa độ tâm mặt cầu:
  • a=−a0a = -a_0,b=−b0b = -b_0,c=−c0c = -c_0
  • Bước 3: Tính bán kínhRR:
  • R=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}

    • Ví dụ minh họa chi tiết

    Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trìnhx2+y2+z2−4x+6y−8z+9=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 8z + 9 = 0

  • So sánh với tổng quát:x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
  • Nhận thấy:2a=−4⇒a=−22a = -4 \Rightarrow a = -2
  • 2b=6⇒b=32b = 6 \Rightarrow b = 3
  • 2c=−8⇒c=−42c = -8 \Rightarrow c = -4
  • d=9d = 9
  • Tâm mặt cầu:I(−a,−b,−c)=(2,−3,4)I(-a, -b, -c) = (2, -3, 4)
  • Bán kính: R=a2+b2+c2−d=(−2)2+32+(−4)2−9=4+9+16−9=20=25R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-4)^2 - 9} = \sqrt{4 + 9 + 16 - 9} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

    • Đáp số: Tâm I(2,−3,4)I(2, -3, 4), bán kính R=25R = 2\sqrt{5}.

    Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

  • Nếua2+b2+c2−d<0a^2 + b^2 + c^2 - d < 0thì phương trình không xác định được mặt cầu thực (không tồn tại bán kính thực).
  • Nếua2+b2+c2=da^2 + b^2 + c^2 = dthì mặt cầu là mặt cầu có bán kính bằng00(một điểm duy nhất).
  • Cần đặc biệt chú ý dấu khi thay vào công thức bán kính.

    • Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Việc xác định tâm và bán kính mặt cầu là cơ sở cho các bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng, tìm giao điểm, khoảng cách từ điểm đến mặt cầu,… Bên cạnh đó, đây cũng là bước căn bản để học sinh dễ dàng tìm được phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính, liên hệ kiến thức về tọa độ trong không gian Oxyz.

    Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trìnhx2+y2+z2+8x−2y+4z−11=0x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 2y + 4z - 11 = 0

  • So sánh:2a=8⇒a=42a = 8 \Rightarrow a = 4,2b=−2⇒b=−12b = -2 \Rightarrow b = -1,2c=4⇒c=22c = 4 \Rightarrow c = 2,d=−11d = -11
  • Tâm:I(−a,−b,−c)=(−4,1,−2)I(-a, -b, -c) = (-4, 1, -2)
  • R=a2+b2+c2−d=42+(−1)2+22−(−11)=16+1+4+11=32=42R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2 - (-11)} = \sqrt{16 + 1 + 4 + 11} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

    • Đáp số: Tâm I(−4,1,−2)I(-4, 1, -2), bán kính R=42R = 4\sqrt{2}.

    Bài tập 2: Xác định mặt cầu nào không tồn tại mặt cầu thực trong các phương trình sau:

  • (a)x2+y2+z2+2x+2y+2z−20=0x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y + 2z - 20 = 0
  • (b)x2+y2+z2+4x+4y+4z+20=0x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 4y + 4z + 20 = 0
  • Lời giải:
  • - (a):a=1a = 1,b=1b = 1,c=1c = 1,d=−20d = -20
  • R=12+12+12−(−20)=3+20=23R = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2 - (-20)} = \sqrt{3 + 20} = \sqrt{23} => Tồn tại mặt cầu.
  • - (b):a=2a = 2,b=2b = 2,c=2c = 2,d=20d = 20
  • R=22+22+22−20=12−20=−8R = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2 - 20} = \sqrt{12 - 20} = \sqrt{-8} => Không tồn tại mặt cầu thực.

    • Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Lẫn lộn dấu++,−-khi tìma,b,ca, b, c. Nhớ là 2a=2a =hệ số củaxxtrong phương trình.
  • Sai thứ tự khi áp dụng công thức tâmI(−a,−b,−c)I(-a, -b, -c). Cần nhớ các dấu đổi ngược.
  • Nhập nhầm khi tính RR, cần thay chính xác a,b,ca, b, cvà ddvàoR=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}.
  • Không kiểm tra trường hợpR2<0R^2 < 0dẫn đến tính bán kính không thực.

    • Tóm tắt và điểm cần nhớ

  • Phương trình mặt cầu:(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
  • Dạng tổng quát:x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + 2a x + 2b y + 2c z + d = 0
  • Tâm mặt cầu:I(−a,−b,−c)I(-a, -b, -c)
  • Bán kính: R=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}
  • Kiểm tra điều kiệna2+b2+c2−d>0a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 để tồn tại mặt cầu thực.

    • Hy vọng với bài viết này, học sinh sẽ dễ dàng nắm chắc phương pháp xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình, vận dụng hiệu quả vào các bài tập hình học không gian trong chương trình THPT.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".