Blog

Lớp 12

Tìm tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, chủ đề mặt cầu là một phần kiến thức hình học không gian quan trọng. Tìm tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu là kỹ năng nền tảng, được ứng dụng không chỉ trong các bài toán hình học thuần túy mà còn là bước đầu cho các bài toán phức tạp về mặt cầu, vị trí tương đối và các ứng dụng trong thực tế như địa lý, vật lý, kỹ thuật. Việc hiểu rõ cách xác định tâm và bán kính sẽ giúp học sinh phát triển tư duy không gian, logic và kỹ năng giải bài toán hiệu quả.

2. Định nghĩa chính xác: Tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình

Mặt cầu trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát:

x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

Trong đó:

  • Tâm mặt cầu:I(−a,−b,−c)I(-a, -b, -c)
  • Bán kính: R=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}

    • Điều kiện để phương trình biểu diễn mặt cầu là a2+b2+c2−d>0a^2 + b^2 + c^2 - d > 0(bán kính dương).

    3. Các bước xác định tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu

    Hãy làm rõ các bước với một ví dụ cụ thể.

    • Bước 1: Đưa phương trình mặt cầu về dạng chuẩn

    Phương trình mặt cầu dạng chuẩn:

    (x−x0)(x - x_0)^2 +(y−y0)(y - y_0)^2 +(z−z0)(z - z_0)^2 = R^2

    Nếu phương trình có dạng tổng quát, ta cần nhóm các hạng tử xx,yy,zz, và hoàn thành bình phương từng biến.

  • Bước 2: Xác định các hệ số a,b,c,da, b, c, d
  • Bước 3: Tìm tọa độ tâm và bán kính bằng công thức

    • Ví dụ minh họa:

    Cho mặt cầu:

    x^2 + y^2 +z2−4x+6y−8z−11z^2 - 4x + 6y - 8z - 11= 0

    Ta xác định các hệ số:2a=−4⇒a=−22a = -4 \Rightarrow a = -2; 2b = 6⇒\Rightarrowb = 3; 2c = -8⇒\Rightarrowc = -4;d=−11d = -11.

  • Tâm mặt cầu:I(−a,−b,−c)=(2,−3,4)I(-a, -b, -c) = (2, -3, 4)
  • Bán kính: R=a2+b2+c2−d=(−2)2+32+(−4)2−(−11)=4+9+16+11=40=210R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{4 + 9 + 16 + 11} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

    • 4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

  • Nếua2+b2+c2−d=0a^2 + b^2 + c^2 - d = 0thì mặt cầu suy biến thành một điểm (bán kính bằng 0).
  • Nếua2+b2+c2−d<0a^2 + b^2 + c^2 - d < 0thì phương trình không biểu diễn mặt cầu nào trong không gian thực.
  • Nếu thiếu một biến (ví dụ không có zz), mặt cầu nằm trong không gianOxyOxy(2D), thực chất là đường tròn trong mặt phẳng.

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Hoàn thành bình phương: Là kỹ năng quan trọng để đưa phương trình tổng quát về dạng chuẩn.
  • Mối liên hệ với mặt phẳng, đường thẳng: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và các đối tượng hình học khác.
  • Độ dài đoạn thẳng, khoảng cách: Ứng dụng công thức khoảng cách khi tính toán liên quan đến mặt cầu.

    • 6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Minh họa các mặt cắt phẳng của mặt cầu x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z - 11 = 0 (tương đương (x+1)² + (y+2)² + (z+3)² = 25) với tâm M(-1, -2, -3) và bán kính R=5 tại các mặt phẳng z = -3, y = -2 và x = -1
    Hình minh họa: Mô phỏng phương trình khối cầu x² + y² + z² - 4x + 6y - 8z - 11 = 0 sau khi hoàn thành bình phương thu được tâm C(2, -3, 4) và bán kính R = √40 ≈ 6.32; minh họa hình chiếu 3D của khối cầu với các trục
    Mô phỏng phương trình khối cầu x² + y² + z² - 4x + 6y - 8z - 11 = 0 sau khi hoàn thành bình phương thu được tâm C(2, -3, 4) và bán kính R = √40 ≈ 6.32; minh họa hình chiếu 3D của khối cầu với các trục
    Hình minh họa: Minh họa hình cầu với phương trình x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y + 2z + 2 = 0, tâm (-1, -2, -1) và bán kính r = 2 trên hệ trục Oxyz
    Minh họa hình cầu với phương trình x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y + 2z + 2 = 0, tâm (-1, -2, -1) và bán kính r = 2 trên hệ trục Oxyz
    Minh họa quá trình nhóm các hạng tử theo biến x, y, z và hoàn thành bình phương cho các biểu thức ví dụ x²+4x, y²–6y và z²+2z
    • Bài 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:x2+y2+z2+6x−8y+10z−4=0x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y + 10z - 4 = 0.

    Giải:

    2a=6⇒a=32a = 6 \Rightarrow a = 3,2b=−8⇒b=−42b = -8 \Rightarrow b = -4,2c=10⇒c=52c = 10 \Rightarrow c = 5,d=−4d = -4.

  • Tâm:I(−a,−b,−c)=(−3,4,−5)I(-a, -b, -c) = (-3, 4, -5)
  • Bán kính: R=a2+b2+c2−d=9+16+25+4=54=36R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{9 + 16 + 25 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}
  • Bài 2: Cho mặt cầux2+y2+z2−2x+4y−6z+5=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0. Tìm tâm và bán kính.

    • Giải:

    2a=−2⇒a=−12a = -2 \Rightarrow a = -1,2b=4⇒b=22b = 4 \Rightarrow b = 2,2c=−6⇒c=−32c = -6 \Rightarrow c = -3,d=5d = 5.

  • Tâm:I(−a,−b,−c)=(1,−2,3)I(-a, -b, -c) = (1, -2, 3)
  • Bán kính: R=(−1)2+22+(−3)2−5=1+4+9−5=9=3R = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2 - 5} = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = \sqrt{9} = 3

    • 7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm dấu khi xác địnhaa,bb,cctừ 2a2a,2b2b,2c2c(phải chú ý I(−a,−b,−c)I(-a, -b, -c)).
  • Quên điều kiện tồn tại của mặt cầu:a2+b2+c2−d>0a^2 + b^2 + c^2 - d > 0.
  • Không hoàn thành bình phương chính xác với các phương trình chưa rút gọn.
  • Lẫn lộn với các dạng phương trình hình học khác (ví dụ, mặt phẳng hoặc mặt trụ).

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Nhận diện phương trình mặt cầu tổng quát:x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0.
  • Công thức tìm tâm: (−a,−b,−c)(-a, -b, -c); công thức tính bán kính: R=a2+b2+c2−dR = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}.
  • Phải chú ý điều kiện tồn tại của mặt cầu và các trường hợp đặc biệt.
  • Luyện tập nhiều dạng bài để rèn kỹ năng nhận diện, phân tích và giải quyết các trường hợp đa dạng.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".