Blog

Lớp 12

Tìm tiệm cận và phân tích đồ thị: Khái niệm, lý thuyết và ví dụ cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tìm tiệm cận và phân tích đồ thị là một phần không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt khi học về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Kỹ năng này giúp học sinh hiểu sâu về hành vi của hàm số, xác định xu hướng của đường cong khi biến số tiến tới vô cùng hoặc tại các điểm đặc biệt. Việc nắm chắc các kiến thức về tiệm cận và phân tích đồ thị không chỉ giúp giải quyết tốt các bài toán trong chương trình mà còn dễ dàng trong các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia. Ngoài ra, kỹ năng đọc và phân tích đồ thị còn ứng dụng rất lớn trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế…Bạn có thể thực hành với 42.227+ bài tập Tìm tiệm cận và phân tích đồ thị miễn phí ngay sau bài học.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Tiệm cận là gì?Đường thẳngddgọi là tiệm cận của đồ thị hàm số y=f(x)y = f(x)nếu khixxtiến dần đến một giá trị nào đó, khoảng cách từ điểmM(x,f(x))M(x, f(x))trên đồ thị đếnddtiến dần về 0.

- Có 3 loại tiệm cận: ngang, đứng và xiên.

  • + Tiệm cận đứng: Là đường thẳngx=ax = asao cho khix→a+x \to a^+hoặcx→a−x \to a^-thì f(x)→∞f(x) \to \inftyhoặc−∞-\infty.
  • + Tiệm cận ngang: Là đường thẳngy=by = bsao cho khix→∞x \to \inftyhoặcx→−∞x \to -\inftythì f(x)→bf(x) \to b.
  • + Tiệm cận xiên: Là đường thẳngy=ax+by = ax + b(vớia≠0a \neq 0) sao cho khoảng cách giữaf(x)f(x)và ax+bax + btiến về 0 khix→∞x \to \inftyhoặcx→−∞x \to -\infty.

    • - Điều kiện và giới hạn khi xác định tiệm cận:Dùng giới hạn để kiểm tra hành vi của hàm số khixxtiến đến các giá trị đặc biệt hoặc vô cùng.

    2.2 Công thức và quy tắc

    - Tiệm cận đứng: Tìm nghiệm của mẫu số (nếu hàm phân thức), kiểm tra giới hạn một bên:

    - Tiệm cận ngang:Tính giới hạn khixxtiến tới vô cùng:

    - Tiệm cận xiên: Tìm hệ số gócaavà hệ số tự dobb:

    a=lim⁡x→∞f(x)x,b=lim⁡x→∞[f(x)−ax]a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x},\quad b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - a x]

  • Mẹo ghi nhớ: Tiệm cận đứng – giải phương trình mẫu số bằng 0; Tiệm cận ngang – chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất củaxx; Tiệm cận xiên – dùng công thức tính hệ số góc từ giới hạnx→∞x \to \infty.
  • Điều kiện sử dụng: Chỉ xuất hiện tiệm cận xiên khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1.
  • Các biến thể: Với hàm phân thức hữu tỉ tổng quát có thể xuất hiện tiệm cận ngang một phía hoặc xiên cả hai phía.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hàm số y=2x+3x−1y = \frac{2x + 3}{x - 1}. Tìm các tiệm cận của đồ thị.

  • Bước 1: Tiệm cận đứng – giảix−1=0⇒x=1x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1.
  • Bước 2: Tiệm cận ngang – tínhlim⁡x→∞2x+3x−1\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x - 1}.
  • Chia tử mẫu choxx, ta có lim⁡x→∞2+3x1−1x=2\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2.
  • Đáp án: Đồ thị có tiệm cận đứngx=1x = 1, tiệm cận ngangy=2y = 2.
  • Lưu ý: Chỉ có tiệm cận xiên khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1.

    • 3.2 Ví dụ nâng cao

    Xét hàm số y=x2+1x−1y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}. Tìm các tiệm cận của đồ thị.

  • Bước 1: Tiệm cận đứng –x−1=0⇒x=1x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1.
  • Bước 2: Tiệm cận ngang –lim⁡x→∞x2+1x−1=∞\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \infty(không có tiệm cận ngang).
  • Bước 3: Tiệm cận xiên –a=lim⁡x→∞x2+1x=lim⁡x→∞(x+1x)=∞a = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x} = \lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x}) = \infty.
  • Tuy nhiên, phân tích đa thức:x2+1x−1=x+1+2x−1\frac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x-1}.
  • Vậyy=x+1y = x + 1là tiệm cận xiên.
  • Chú ý kỹ bước rút gọn khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1.

    • 4. Các trường hợp đặc biệt

    - Với hàmy=Axn+...Bxm+...y = \frac{Ax^n +...}{Bx^m +...}:

  • Nếun<mn < m: Có tiệm cận ngangy=0y = 0.
  • Nếun=mn = m: Có tiệm cận ngangy=ABy = \frac{A}{B}.
  • Nếun=m+1n = m + 1: Có tiệm cận xiên.
  • Nếun>m+1n > m + 1: Không có tiệm cận ngang/xiên.

    • - Mối liên hệ với khảo sát hàm số: Tìm tiệm cận thường là bước đầu tiên khi phân tích toàn diện đồ thị.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và xiên khi xét bậc tử, bậc mẫu.
  • Hiểu sai điều kiện xuất hiện tiệm cận xiên (bậc tử phải lớn hơn bậc mẫu đúng 1).
  • Cách ghi nhớ: Dùng bảng liệt kê bậc tử - bậc mẫu trước khi tính giới hạn.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Không rút gọn phân thức khi xác định tiệm cận.
  • Áp dụng sai giới hạn một bên cho tiệm cận đứng.
  • Cách kiểm tra kết quả: Thử thay giá trị x gần tiệm cận đứng, hoặc tính lại các giới hạn cẩn thận.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập 42.227+ bài tập Tìm tiệm cận và phân tích đồ thị miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng từng ngày!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Các loại tiệm cận: đứng, ngang, xiên – nhận biết bằng bậc tử, bậc mẫu và giới hạn.
  • Khi khảo sát đồ thị hàm số, luôn kiểm tra tiệm cận trước khi phân tích sâu hơn.
  • Ghi nhớ bảng điều kiện bậc tử/bậc mẫu để tránh nhầm lẫn.
  • Luyện tập thực hành để tránh sai sót khi áp dụng công thức.
  • Kế hoạch ôn tập: Đọc lý thuyết – Làm bài tập cơ bản – Nâng cao – Ôn lại lỗi thường gặp.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".