Tìm tọa độ điểm khi biết hình học – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của "Tìm tọa độ điểm khi biết hình học" trong Toán 12

Trong chương trình toán học lớp 12, đặc biệt ở phần hình học giải tích không gian (toạ độ trong không gian$Oxyz$), bài toán "tìm tọa độ điểm khi biết hình học" xuất hiện rất phổ biến. Đây là dạng bài yêu cầu xác định tọa độ của một điểm dựa trên các thông tin hình học như: thuộc đường thẳng, mặt phẳng, là trọng tâm, trực tâm, trung điểm, hoặc thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách, vị trí... Các kỹ năng này không chỉ giúp các em hiểu sâu về hình học mà còn là nền tảng cho các kì thi quan trọng như tốt nghiệp THPT quốc gia hoặc thi đại học.

2. Định nghĩa và phát biểu chính xác khái niệm

Bài toán "tìm tọa độ điểm khi biết hình học" là bài toán xác định tọa độ của một điểm$M(x, y, z)$trong không gian (hoặc mặt phẳng) khi biết các điều kiện hình học liên quan đến$M$. Các điều kiện này có thể là vị trí tương đối của$M$với các điểm, đường thẳng, mặt phẳng hoặc các quan hệ đặc biệt khác.

3. Quy trình giải chung – ví dụ minh họa

Để tìm tọa độ một điểm, các bước thường gặp gồm:

Ví dụ: Cho$A(1,2,0)$,$B(3,1,4)$, hãy tìm tọa độ trung điểm$M$của đoạn$AB$.

Ta biết trung điểm$M$có tọa độ:

Đây là dạng hình học điển hình nhất: tìm trung điểm.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Ngoài trung điểm, trong Toán 12 còn nhiều dạng phổ biến khác:

Lưu ý: Luôn viết ra tọa độ điểm, biểu diễn vectơ, hoặc hệ phương trình cụ thể trước khi giải.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kỹ năng này liên quan chặt chẽ tới các kiến thức:

Việc rèn luyện tìm tọa độ điểm giúp các em vững chắc khi bước sang các dạng bài hệ phương trình và hình học nâng cao.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm tọa độ điểm$M$thuộc đoạn$AB$sao cho$AM: MB = 1: 2$, biết$A(1, 2, 3)$,$B(4, 5, 9)$.

Giải: Gọi$M(x, y, z)$. Ta có $\vec{AM} = k\vec{AB}$, với$AM/AB = 1/3 \Rightarrow k = 1/3$nên$M$chia$AB$theo tỉ số $1:2$kể từ $A$.

$\vec{AB} = (4-1, 5-2, 9-3) = (3, 3, 6)$.
Do đó:
$<br />M = (1 + \frac{1}{3} \times 3, 2 + \frac{1}{3} \times 3, 3 + \frac{1}{3} \times 6) = (1+1, 2+1, 3+2) = (2, 3, 5)<br />$

Bài 2: Cho tam giác$ABC$với$A(0,0,0), B(6,0,0), C(0,6,0)$. Tìm tọa độ trọng tâm$G$.

Giải:
$<br />G\left(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+6}{3}, \frac{0+0+0}{3}\right) = G(2,2,0)<br />$

Bài 3: Hãy tìm toạ độ điểm$M$nằm trên mặt phẳng$(P): 2x-y+z-3=0$, cách đều$A(1,1,0)$và $B(3,1,4)$.

Giải:
Gọi $M(x, y, z)$, ta có 2 điều kiện:

Nên$4x - 8 + 8z -16 = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 6$.

Giải hệ:
\begin{cases}
2x - y + z -3=0 \\
x + 2z = 6
\end{cases}

Ta chọn$y$tự do để tìm nghiệm tổng quát, hoặc cho$y=0$chẳng hạn:
Từ $x + 2z = 6 \Rightarrow x = 6 - 2z$.

Thế vào$(1): 2(6-2z) - 0 + z -3=0 \Leftrightarrow 12-4z +z -3=0 \Leftrightarrow -3z= -9 \Rightarrow z=3$. Ta có $x=6-2 \times 3 =0$.

Vậy một nghiệm là $M(0, 0, 3)$.
Các nghiệm khác có thể chọn$y$tuỳ ý.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Để tránh lỗi, hãy luôn viết rõ từng bước suy luận, kiểm tra lại từng điều kiện đề bài đặt ra và xác minh tính đúng đắn của kết quả cuối cùng.

8. Tổng kết – Các điểm chính cần nhớ

Dạng bài "tìm tọa độ điểm khi biết hình học" là một trong các chuyên đề quan trọng và nền tảng của hình học không gian lớp 12. Kỹ năng này hỗ trợ hiệu quả cho học tốt các chương tiếp theo, ôn tập và luyện thi đại học. Chúc các em học tốt!