1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của tính góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm tính góc giữa hai đường thẳng là một nội dung quan trọng trong hình học phẳng, được giảng dạy chi tiết ở chương trình Toán lớp 12. Việc tính đúng góc giữa hai đường giúp chúng ta phân tích và giải quyết nhiều bài toán về vị trí tương đối của các đường, tính góc tạo bởi hai cạnh tam giác, tứ giác, hay ứng dụng trong thiết kế kỹ thuật, đồ họa máy tính và kiến trúc. Trong quá trình ôn luyện thi THPT Quốc gia, học sinh sẽ thường xuyên gặp dạng bài này. Vì vậy, nắm vững tính góc giữa hai đường thẳng sẽ nâng cao kỹ năng giải toán và tư duy hình học của các em.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng$d_1$và $d_2$trong mặt phẳng với hệ số góc lần lượt là $m_1$và $m_2$. Góc nhỏ nhất$\theta$giữa hai đường này được xác định bởi công thức$\tan \theta=\left|{m_1-m_2\over 1+m_1m_2}\right|\,,$trong đó $0\le\theta\le {\pi\over2}$. Ngoài ra, nếu hai đường được xác định bởi các vectơ chỉ phương$\vec u=(a_1,b_1)$và $\vec v=(a_2,b_2)$thì$\cos \theta=\left|{a_1a_2+b_1b_2\over \sqrt{a_1^2+b_1^2}\,\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\right|\,.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để tính góc giữa hai đường thẳng, các em có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình hai đường thẳng dưới dạng hàm số $y=mx+c$hoặc dạng tổng quát$Ax+By+C=0$, từ đó tìm hệ số góc$m_1$,$m_2$hoặc vectơ chỉ phương.

Bước 2: Áp dụng một trong hai công thức tính góc đã cho. Thường dùng công thức hệ số góc nếu phương trình đã ở dạng$y=mx+c$và dùng công thức cosin nếu biết vectơ chỉ phương.

Bước 3: Tính toán giá trị $\tan \theta$hoặc$\cos \theta$rồi tìm$\theta$qua hàm ngược

hoặc. Chú ý chọn giá trị $\theta$trong khoảng$[0,\pi/2]$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng$d_1:y=2x+1$và $d_2:y-(-\tfrac12)x+3$. Xác định góc giữa$d_1$và $d_2$.

Giải: Hệ số góc của$d_1$là $m_1=2$, của$d_2$là $m_2=-\tfrac12$. Áp dụng$\tan \theta=\left|{2-(-\tfrac12)\over1+2 \cdot (-\tfrac12)}\right|=\left|{2.5\over1-1}\right|=\left|{2.5\over0}\right|=+\infty\,,$suy ra$\theta=\tfrac{\pi}{2}$(hay$90^\circ$). Như vậy hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 2: Cho vectơ chỉ phương của hai đường là $\vec u=(3,4)$và $\vec v=(4,-3)$. Tính góc giữa hai vectơ này.Áp dụng công thức$\cos \theta=\left|{3 \cdot 4+4 \cdot (-3)\over\sqrt{3^2+4^2}\,\sqrt{4^2+(-3)^2}}\right|=\left|{12-12\over5 \cdot 5}\right|=0\,,$vậy$\theta=\arccos0=\tfrac{\pi}{2}$(hay$90^\circ$).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Hai đường song song khi$m_1=m_2$hoặc vectơ chỉ phương tỉ lệ. Khi đó góc giữa hai đường là $\theta=0$.

- Hai đường vuông góc khi$m_1m_2=-1$hoặc tích vô hướng của vectơ chỉ phương bằng 0. Khi đó $\theta=\tfrac{\pi}{2}$.

- Nếu một đường thẳng đứng (phương trình$x=a$) và đường khác không đứng thì hệ số góc không xác định. Ứng với$m_1=\infty$, áp dụng công thức phù hợp để kết luận góc là $\tfrac{\pi}{2}$nếu đường kia không đứng, hoặc$0$nếu cũng đứng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm góc giữa hai đường thẳng gắn chặt với góc giữa hai vectơ và tích vô hướng. Ngoài ra, nó liên quan tới phương pháp tọa độ trong hình học phẳng, các bài toán về góc, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, hình chiếu vuông góc. Trong giải tích, góc giữa tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm cũng được tính tương tự.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng$2x - y +3=0$và $x+2y-4=0$.

Lời giải: Viết dạng$y=mx+c$. Từ $2x-y+3=0$suy ra$y=2x+3$, vậy$m_1=2$. Từ $x+2y-4=0$suy ra$y=-\tfrac12x+2$, vậy$m_2=-\tfrac12$. Áp dụng công thức$\tan \theta=\left|{2-(-\tfrac12)\over1+2 \cdot (-\tfrac12)}\right|=+\infty\,,$do đó $\theta=90^\circ$.

Bài tập 2: Xác định góc giữa đường thẳng qua A(1,2) và B(4,0) với đường thẳng qua C(2,3) và D(5,6).

Lời giải: Tìm vectơ chỉ phương$\vec{AB}=(4-1,0-2)=(3,-2)$và $\vec{CD}=(5-2,6-3)=(3,3)$. Áp dụng$\cos \theta=\left|{3 \cdot 3+(-2) \cdot 3\over\sqrt{3^2+(-2)^2}\,\sqrt{3^2+3^2}}\right|=\left|{9-6\over\sqrt{13}\,\sqrt{18}}\right|=\left|{3\over3\sqrt{2}}\right|=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,$suy ra$\theta=45^\circ$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính$\tan \theta$hoặc$\cos \theta$, dẫn tới góc âm hoặc sai kết quả. - Nhầm lẫn dấu trong công thức chuyển từ dạng tổng quát sang dạng$y=mx+c$. - Không chuyển kết quả từ radian sang độ khi đề yêu cầu đơn vị độ. - Bỏ qua trường hợp đường thẳng đứng khiến hệ số góc không xác định.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Góc giữa hai đường thẳng dạng hàm số xác định qua công thức$\tan \theta$. - Góc giữa hai đường thẳng qua vectơ chỉ phương xác định qua công thức$\cos \theta$. - Hai đường song song có góc 0, hai đường vuông góc có góc$90^\circ$. - Luôn lấy giá trị tuyệt đối và chọn kết quả trong khoảng$[0,90^\circ]$.