Blog

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình hình học không gian lớp 12, việc xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng giữ vai trò vô cùng quan trọng. Đây là một trong những kiến thức cơ bản, nền tảng cho nhiều dạng toán phức tạp hơn và có nhiều ứng dụng thực tiễn như tính thể tích, bài toán tối ưu hình học, xây dựng và thiết kế các công trình. Khi hiểu chắc chắn về khái niệm này, học sinh sẽ tự tin giải quyết hầu hết các dạng bài tập liên quan tới mặt phẳng và hình học không gian trong các kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa và công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểmM(x0,y0,z0)M(x_0, y_0, z_0)và mặt phẳng(P):Ax+By+Cz+D=0(P): Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách từ điểmMM đến mặt phẳng(P)(P), ký hiệud(M,(P))d(M, (P)), được tính theo công thức:

d(M,(P))=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d(M, (P)) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Đây là công thức chuẩn trong hình học không gian giải tích dùng để tìm khoảng cách vuông góc từ điểmMM đến mặt phẳng(P)(P).

3. Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xét ví dụ cụ thể:

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểmM(1,2,3)M(1,2,3) đến mặt phẳng(P):2xy+2z4=0(P): 2x - y + 2z - 4 = 0.

Ta xác định các hệ số:A=2A = 2,B=1B = -1,C=2C = 2,D=4D = -4và tọa độ điểmM(x0,y0,z0)=(1,2,3)M(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 3).

Áp dụng công thức:

d(M,(P))=2×1+(1)×2+2×3422+(1)2+22=22+644+1+4=23=23d(M,(P)) = \frac{|2 \times 1 + (-1) \times 2 + 2 \times 3 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|2|}{3} = \frac{2}{3}

Vậy khoảng cách từ điểmM(1,2,3)M(1,2,3)đến mặt phẳng đã cho là23\frac{2}{3}.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Trường hợp mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: nếuD=0D = 0, công thức vẫn áp dụng như thường.
- Nếu điểmMMthuộc mặt phẳng(P)(P), tức là Ax0+By0+Cz0+D=0A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 0, khi đó d(M,(P))=0d(M, (P)) = 0.
- Nếu hệ số AA,BB,CCcùng nhận một hằng số (mặt phẳng cùng phương với mặt phẳng cho trước), vẫn thực hiện như công thức gốc.
- Lưu ý: Luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số và căn bậc hai dương ở mẫu số. Không bỏ qua dấu trừ hoặc cộng của hệ số DD.

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là một ví dụ của khoảng cách trong không gian Euclid.
- Công thức này có thể liên hệ đến định lý vector, định lý hình học về hình chiếu vuông góc và các khái niệm như véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Việc hiểu rõ công thức này giúp giải quyết các bài toán xác định điểm, mặt phẳng gần hoặc xa nhau, tính thể tích hình chóp, diện tích tam giác theo không gian,...

6. Bài tập mẫu có lời giải

Bài tập 1: Cho điểmA(0,1,2)A(0, -1, 2)và mặt phẳng(Q):x+2y2z+3=0(Q): x + 2y - 2z + 3 = 0. Tính khoảng cách từ AA đến(Q)(Q).

Hình minh họa: Minh họa mặt phẳng (P): x + y + z = 0, điểm C(3,2,1) và hình chiếu vuông góc H(1,0,-1), đoạn CH biểu diễn khoảng cách d = 2√3
Minh họa mặt phẳng (P): x + y + z = 0, điểm C(3,2,1) và hình chiếu vuông góc H(1,0,-1), đoạn CH biểu diễn khoảng cách d = 2√3

Lời giải:

d(A,(Q))=0+2×(1)2×2+312+22+(2)2=24+31+4+4=33=1d(A, (Q)) = \frac{|0 + 2 \times (-1) - 2 \times 2 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 -4 + 3|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{|-3|}{3} = 1

Vậy, khoảng cách cần tìm là 11.

Bài tập 2: Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng(P):3x4y+12z9=0(P): 3x - 4y + 12z - 9 = 0cách điểmB(1,2,1)B(1,2,1)một khoảng bằng22.

Lời giải:

Đặt M(x,y,z)(P)M(x, y, z) \in (P), theo định nghĩa: 3x4y+12z9=03x - 4y + 12z - 9 = 0
Điểm B(1,2,1) nên áp dụng công thức khoảng cách:
3×14×2+12×1932+(4)2+122=2\frac{|3 \times 1 - 4 \times 2 + 12 \times 1 - 9|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} = 2
Tính tử số: 38+129=23 -8 +12 -9 = -2; Giá trị tuyệt đối là 22
Mẫu số: 9+16+144=169=13\sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13

Do đó:


(do \frac{2}{13} < 2 )

Bài tập 3: Cho mặt phẳngx+y+z=0x + y + z = 0và điểmC(3,2,1)C(3,2,1). Tìm hình chiếu vuông gócHHcủaCCtrên mặt phẳng và tínhd(C,(P))d(C, (P)).

Lời giải:
Công thức khoảng cách:
d(C,(P))=3+2+112+12+12=63=23d(C, (P)) = \frac{|3 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

Để tìm hình chiếuHH, gọi tọa độ H(x,y,z)H(x,y,z), ta biếtCHCHvuông góc với mặt phẳng(P)(P)nên có dạng:
x31=y21=z11=t\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{1} = t

Từ đó:
x=3+tx = 3 + t,y=2+ty = 2 + t,z=1+tz = 1 + t. Hình chiếuHHthuộc mặt phẳng:
(3+t)+(2+t)+(1+t)=0    6+3t=0    t=2(3 + t) + (2 + t) + (1 + t) = 0 \implies 6 + 3t = 0 \implies t = -2
Vậy tọa độ H(1,0,1)H(1, 0, -1).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Lỗi không dùng giá trị tuyệt đối ở tử số, dẫn đến kết quả âm, sai.
- Nhầm lẫn dấu khi thay số vào hệ số AA,BB,CC,DD.
- Quên căn ở mẫu số và nhầm phương pháp trong các trường hợp điểm thuộc mặt phẳng (d=0d = 0).
- Đôi khi quên kiểm tra mặt phẳng có dạng đặc biệt (song song với trục, hay là mặt phẳng tọa độ).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng cách từ điểm M(x0,y0,z0)M(x_0, y_0, z_0) đến mặt phẳng(P):Ax+By+Cz+D=0(P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d(M,(P))=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d(M, (P)) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
- Luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số, và căn dương ở mẫu số.
- Cần xác định chính xác hệ số của mặt phẳng và tọa độ điểm.
- Các lỗi nhỏ có thể dẫn đến sai đáp số, nên kiểm tra kỹ mọi bước tính toán.
- Hiểu vững khái niệm này giúp giải quyết nhiều vấn đề hình học không gian.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".