Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12
1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng
Trong chương trình hình học không gian lớp 12, việc xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng giữ vai trò vô cùng quan trọng. Đây là một trong những kiến thức cơ bản, nền tảng cho nhiều dạng toán phức tạp hơn và có nhiều ứng dụng thực tiễn như tính thể tích, bài toán tối ưu hình học, xây dựng và thiết kế các công trình. Khi hiểu chắc chắn về khái niệm này, học sinh sẽ tự tin giải quyết hầu hết các dạng bài tập liên quan tới mặt phẳng và hình học không gian trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
2. Định nghĩa và công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho điểmvà mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ký hiệu, được tính theo công thức:
Đây là công thức chuẩn trong hình học không gian giải tích dùng để tìm khoảng cách vuông góc từ điểm đến mặt phẳng.
3. Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xét ví dụ cụ thể:
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ta xác định các hệ số:,,,và tọa độ điểm.
Áp dụng công thức:
Vậy khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng đã cho là.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
- Trường hợp mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: nếu, công thức vẫn áp dụng như thường.
- Nếu điểmthuộc mặt phẳng, tức là , khi đó .
- Nếu hệ số ,,cùng nhận một hằng số (mặt phẳng cùng phương với mặt phẳng cho trước), vẫn thực hiện như công thức gốc.
- Lưu ý: Luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số và căn bậc hai dương ở mẫu số. Không bỏ qua dấu trừ hoặc cộng của hệ số .
5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là một ví dụ của khoảng cách trong không gian Euclid.
- Công thức này có thể liên hệ đến định lý vector, định lý hình học về hình chiếu vuông góc và các khái niệm như véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Việc hiểu rõ công thức này giúp giải quyết các bài toán xác định điểm, mặt phẳng gần hoặc xa nhau, tính thể tích hình chóp, diện tích tam giác theo không gian,...
6. Bài tập mẫu có lời giải
Bài tập 1: Cho điểmvà mặt phẳng. Tính khoảng cách từ đến.
Lời giải:
Vậy, khoảng cách cần tìm là .
Bài tập 2: Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳngcách điểmmột khoảng bằng.
Lời giải:
Đặt , theo định nghĩa:
Điểm B(1,2,1) nên áp dụng công thức khoảng cách:
Tính tử số: ; Giá trị tuyệt đối là
Mẫu số:
Do đó:
(do \frac{2}{13} < 2 )
Bài tập 3: Cho mặt phẳngvà điểm. Tìm hình chiếu vuông góccủatrên mặt phẳng và tính.
Lời giải:
Công thức khoảng cách:
Để tìm hình chiếu, gọi tọa độ , ta biếtvuông góc với mặt phẳngnên có dạng:
Từ đó:
,,. Hình chiếuthuộc mặt phẳng:
Vậy tọa độ .
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
- Lỗi không dùng giá trị tuyệt đối ở tử số, dẫn đến kết quả âm, sai.
- Nhầm lẫn dấu khi thay số vào hệ số ,,,.
- Quên căn ở mẫu số và nhầm phương pháp trong các trường hợp điểm thuộc mặt phẳng ().
- Đôi khi quên kiểm tra mặt phẳng có dạng đặc biệt (song song với trục, hay là mặt phẳng tọa độ).
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
- Luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số, và căn dương ở mẫu số.
- Cần xác định chính xác hệ số của mặt phẳng và tọa độ điểm.
- Các lỗi nhỏ có thể dẫn đến sai đáp số, nên kiểm tra kỹ mọi bước tính toán.
- Hiểu vững khái niệm này giúp giải quyết nhiều vấn đề hình học không gian.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại