Blog

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khái niệm, công thức, ví dụ chi tiết cho lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình hình học 12, việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một kỹ năng cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng. Không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài tập về hình học không gian, khái niệm này còn là nền tảng cho nhiều bài toán ứng dụng thực tế, như tính chiều cao địa vật, xác định vị trí tối ưu trong không gian, và còn là kiến thức trọng tâm trong các kỳ thi THPT Quốc gia cũng như luyện thi đại học.

2. Định nghĩa chính xác: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là gì?

Khoảng cách từ một điểmM(x0,y0,z0)M(x_0, y_0, z_0) đến một mặt phẳng(P)(P)có phương trình tổng quátAx+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0là độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ MMxuống mặt phẳng(P)(P). Đây là khoảng cách ngắn nhất từ điểmMM đến mọi điểm thuộc mặt phẳng(P)(P).

Công thức chính xác để tính như sau:

d(M,(P))=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d(M, (P)) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xem xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về các bước tính toán:

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểmM(1,2,3)M(1,2,3) đến mặt phẳng(P):2xy+2z3=0(P): 2x - y + 2z - 3 = 0.

Các bước giải:

  • Bước 1: Xác định toạ độ điểmM(1,2,3)M(1,2,3)và các hệ số A=2A=2,B=1B=-1,C=2C=2,D=3D=-3.
  • Bước 2: Thay các giá trị vào công thức:
  • d=2×1+(1)×2+2×3322+(1)2+22d = \frac{|2 \times 1 + (-1) \times 2 + 2 \times 3 - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}
  • Bước 3: Tính toán tử số và mẫu số:
  • d=22+634+1+4=33=1d = \frac{|2 - 2 + 6 -3 |}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|3|}{3} = 1
  • Vậy khoảng cách từ MMtới mặt phẳng(P)(P)là 1 đơn vị.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu điểmMMnằm trên mặt phẳng(P)(P)thì Ax0+By0+Cz0+D=0A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 0nênd=0d = 0.
  • Nếu mặt phẳng không có một trong các hệ số A,B,CA, B, C(ví dụ mặt phẳngx+2y+0z+5=0x + 2y + 0z + 5 = 0), công thức vẫn áp dụng bình thường với hệ số thiếu là 0.
  • Nếu các hệ số của mặt phẳng đều có thể chia hết cho cùng một số thì nên rút gọn trước để tính toán đơn giản hơn. Kết quả không thay đổi vì công thức đã lấy trị tuyệt đối và mẫu số đối xứng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là trường hợp cụ thể của khoảng cách từ điểm đến tập hợp. Đây là ứng dụng quan trọng của vectơ chỉ phương và pháp tuyến mặt phẳng trong không gian. Ngoài ra, công thức này liên quan chặt chẽ đến xác định vị trí tương đối giữa điểm và mặt phẳng (thuộc, không thuộc, nằm đối diện, v.v.).

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Hình minh họa: Minh họa khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến mặt phẳng P: 2x - y + 2z - 3 = 0 bằng đoạn vuông góc MH với chân H(1/3,7/3,7/3) trong không gian 3D, kết quả d = 1 đơn vị.
Minh họa khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến mặt phẳng P: 2x - y + 2z - 3 = 0 bằng đoạn vuông góc MH với chân H(1/3,7/3,7/3) trong không gian 3D, kết quả d = 1 đơn vị.

Bài tập 1: Tính khoảng cách từ điểmA(0,4,1)A(0, 4, -1) đến mặt phẳng(Q):3x+2y6z+4=0(Q): 3x + 2y - 6z + 4 = 0.

- Thay vào công thức:

d=3×0+2×46×(1)+432+22+(6)2d = \frac{|3 \times 0 + 2 \times 4 - 6 \times (-1) + 4|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2}}

d=0+8+6+49+4+36=1872,57d = \frac{|0 + 8 + 6 + 4|}{\sqrt{9+4+36}} = \frac{18}{7} \approx 2,57

Bài tập 2: Tính khoảng cách từ điểmB(2,1,5)B(2, -1, 5) đến mặt phẳng(R):x2y+2z+1=0(R): x - 2y + 2z + 1 = 0.

d=22×(1)+2×5+11+4+4=2+2+10+13=153=5d = \frac{|2 - 2 \times (-1) + 2 \times 5 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|2 + 2 + 10 +1|}{3} = \frac{15}{3} = 5

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Quên lấy trị tuyệt đối ở tử số, dẫn đến kết quả âm (vô lý).
  • Thay sai dấu các hệ số AA,BB,CC,DDhoặc toạ độ điểm.
  • Tính sai căn bậc hai ở mẫu số.
  • Quên chia hết các hệ số nếu có thể rút gọn mặt phẳng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Khoảng cách từ điểm M(x0,y0,z0)M(x_0, y_0, z_0) đến mặt phẳngAx+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thứcd=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
  • Luôn lấy trị tuyệt đối ở tử số để đảm bảo dương.
  • Áp dụng được cho mọi phương trình mặt phẳng tổng quát.
  • Kiểm tra kỹ các hệ số và toạ độ, cẩn thận khi rút gọn.
  • Vận dụng linh hoạt vào các bài toán thực tế và bài toán chứng minh vị trí tương đối.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".