Tính khoảng tử phân vị: Khái niệm, hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của khoảng tử phân vị

Trong chương trình Toán lớp 12, mảng kiến thức về thống kê đóng vai trò hết sức quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các đặc trưng trong tập hợp số liệu. Bên cạnh các đại lượng như trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn, thì "tính khoảng tử phân vị" là một khái niệm mô tả mức độ phân tán của các giá trị, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích dữ liệu thực tế. Khoảng tử phân vị đặc biệt cần thiết khi đánh giá mức độ chênh lệch giữa các phần của mẫu số liệu, thường dùng trong các bài toán thống kê và kiểm tra học sinh đánh giá năng lực.

2. Định nghĩa chính xác của khoảng tử phân vị

Khoảng tử phân vị là khoảng cách giữa các giá trị phân vị đặc biệt của một tập hợp số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Phân vị là những điểm chia tập số liệu thành các phần bằng nhau. Hai phân vị quan trọng thường gặp là tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) và tứ phân vị thứ ba ($Q_3$):

• $Q_1$: Tứ phân vị thứ nhất (phần tử chiếm vị trí 25% tổng số số liệu, hay phân vị 0,25).
• $Q_3$: Tứ phân vị thứ ba (phần tử chiếm vị trí 75%, hay phân vị 0,75).

Khoảng tứ phân vị ($IQR$, hay còn gọi là Interquartile Range) được tính bằng công thức:

$IQR = Q_3 - Q_1$

3. Hướng dẫn tính khoảng tử phân vị với ví dụ minh họa

Để tính khoảng tử phân vị, trước tiên, ta phải xác định các giá trị tứ phân vị. Sau đây là các bước thực hiện và ví dụ minh họa cụ thể:

Bước 1: Sắp xếp số liệu theo thứ tự tăng dần

Giả sử ta có dãy số liệu: 7, 12, 15, 18, 19, 21, 23, 25, 30.

Bước 2: Xác định vị trí các tứ phân vị $Q_1$và $Q_3$

Gọi$n$là số phần tử của mẫu (ở ví dụ trên$n = 9$).

- Vị trí $Q_1$ được xác định bởi công thức:$V_{Q_1} = \frac{n+1}{4}$
- Vị trí $Q_3$:$V_{Q_3} = \frac{3(n+1)}{4}$

Tính cho ví dụ trên:

$V_{Q_1} = \frac{9+1}{4} = 2.5$
$V_{Q_3} = \frac{3 \times (9+1)}{4} = 7.5$

Bước 3: Xác định giá trị tứ phân vị bằng phép nội suy

Tứ phân vị nằm ở vị trí lẻ (2.5 và 7.5), nên dùng nội suy tuyến tính giữa hai giá trị liền kề.

-$Q_1$nằm giữa giá trị thứ 2 (12) và thứ 3 (15):

$Q_1 = 12 + 0.5 \times (15 - 12) = 12 + 1.5 = 13.5$

-$Q_3$nằm giữa giá trị thứ 7 (23) và thứ 8 (25):

$Q_3 = 23 + 0.5 \times (25 - 23) = 23 + 1 = 24$

Bước 4: Tính khoảng tử phân vị

Khoảng tử phân vị là:

$IQR = Q_3 - Q_1 = 24 - 13.5 = 10.5$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu vị trí tứ phân vị là số nguyên, ta lấy luôn giá trị ở vị trí đó (không cần nội suy).
- Nếu dãy số liệu có số phần tử quá ít hoặc bị trùng các giá trị, cần cân nhắc khi áp dụng.
- Với mẫu số liệu ghép nhóm, cần sử dụng công thức tìm phân vị trong bảng tần số, thường dùng trong sách giáo khoa nâng cao.

5. Mối liên hệ giữa khoảng tử phân vị với các khái niệm toán học khác

Khoảng tử phân vị liên hệ mật thiết với trung vị (median), tứ phân vị và các số đo phân tán như độ lệch chuẩn, phương sai. Nếu phương sai hay độ lệch chuẩn phụ thuộc vào mọi giá trị dữ liệu, thì IQR chỉ dựa vào các giá trị ở giữa phân phối, ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai (outlier), do đó thích hợp để mô tả độ phân tán trong các dữ liệu không đối xứng.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Hãy tìm khoảng tứ phân vị.

Giải:
-$n = 8$
Vị trí $Q_1 = \frac{8+1}{4}=2.25$
Vị trí $Q_3= \frac{3 \times (8+1)}{4}=6.75$

-$Q_1$nằm giữa vị trí 2 (4) và 3 (6):
$Q_1 = 4 + 0.25 \times (6-4) = 4 + 0.5 = 4.5$

-$Q_3$nằm giữa vị trí 6 (12) và 7 (14):
$Q_3 = 12 + 0.75 \times (14-12) = 12 + 1.5 = 13.5$

- Khoảng tứ phân vị:
$IQR = 13.5 - 4.5 = 9$

Bài tập 2: Một dãy số liệu nhóm:
Bảng ghép nhóm:
| Lớp |Tần số |
|------------|-------|
| 10 – 14 | 2 |
| 15 – 19 | 3 |
| 20 – 24 | 4 |
| 25 – 29 | 1 |
Tính khoảng tứ phân vị.

Giải:
- Tổng số $n = 2 + 3 + 4 + 1 = 10$
- Vị trí $Q_1 = \frac{10}{4}=2.5$,$Q_3 = 7.5$
-$Q_1$nằm trong lớp 15–19 (vì 2 số đầu là lớp 10–14, số tiếp theo là 15–19):

Công thức xác định tứ phân vị trong số liệu ghép nhóm:
$Q_k = L + \frac{\left( \frac{k n}{4} - F_c \right)}{f} \times d$
Trong đó:
-$L$: giới hạn dưới lớp chứa tứ phân vị
-$F_c$: tần số tích lũy của lớp trước
-$f$: tần số lớp chứa tứ phân vị
-$d$: độ rộng lớp

Với$Q_1$($k=1$):
-$L=15$,$F_c=2$,$f=3$,$d=5$
-$Q_1=15 + \frac{2.5-2}{3}\times 5=15 + \frac{0.5}{3} \times 5=15 + 0.833...=15.83$

Với$Q_3$($k=3$):
-$L=20$(lớp 20–24),$F_c=5$,$f=4$,$d=5$
-$Q_3=20 + \frac{7.5-5}{4}\times 5=20 + \frac{2.5}{4} \times 5=20 + 3.125=23.13$

Do đó:
$IQR = 23.13 - 15.83 = 7.3$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Làm tròn sai vị trí tứ phân vị hoặc nhầm lẫn giữa chỉ số vị trí và giá trị số liệu.
• Không sắp xếp số liệu trước khi tính toán.
• Áp dụng công thức phân vị ghép nhóm cho dãy số rời rạc, hoặc ngược lại.
• Bỏ qua phép nội suy khi vị trí là số lẻ hoặc phân số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng tử phân vị (IQR) là đại lượng đo độ phân tán phổ biến trong thống kê.
- Công thức tổng quát:$IQR = Q_3 - Q_1$.
- Đặc biệt hữu ích trong dữ liệu có ngoại lai, dễ sử dụng trong thực tiễn.
- Xin nhớ phải sắp xếp số liệu và xác định chính xác vị trí tứ phân vị, sử dụng nội suy nếu cần.
- Khoảng tử phân vị thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, đề thi tốt nghiệp THPT.