Tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Giới thiệu về tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản

Tính nguyên hàm (antiderivative) là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Giải tích lớp 12, giúp học sinh hiểu được mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững phương pháp tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản không chỉ hỗ trợ giải quyết các bài toán tích phân đơn giản mà còn là nền tảng cho các kỹ thuật tích phân nâng cao. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào khái niệm Tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản, giải thích chi tiết từng công thức, minh họa bằng ví dụ thực tế và cung cấp bài tập có lời giải để củng cố kiến thức.

1. Định nghĩa chính xác

Nguyên hàm của một hàm số $f(x)$là một hàm$F(x)$sao cho đạo hàm của$F(x)$bằng$f(x)$, tức là:$F'(x)=f(x).$Khi đó, ta gọi$F(x)$là một nguyên hàm của$f(x)$. Vì có thể cộng thêm hằng số $C$, nên tổng quát:$ext{Nếu}F'(x)=f(x)ext{thì}oxed{orall Cext{,}F(x)+Cext{đều là nguyên hàm của}f(x).}$

2. Công thức cơ bản tính nguyên hàm

Dưới đây là các công thức cơ bản thường dùng để tính nguyên hàm của chức năng sơ cấp. Khi vận dụng, cần nhớ bổ sung hằng số tích phân$+C$sau mỗi kết quả.

1)$oxed{ext{Luật đa thức:}}$Nếu$f(x)=x^n$với$n<br /> \neq -1$, thì $oxed{orall n<br /> \neq -1:\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.}$

2)$oxed{ext{Hàm mũ cơ bản:}}$Nếu$f(x)=e^x$, thì$oxed{orall x:\int e^x \,dx = e^x + C.}$

3)$oxed{ext{Hàm lũy thừa âm:}}$Nếu$f(x)=x^{-1}$, thì $oxed{orall x<br /> \neq 0:\int \frac{1}{x} \,dx = <br />atural{}\ln|x| + C.}$

$f(x)=x^{-1}$ với miền xác định $x\neq0$ , minh họa diện tích dưới đường cong từ $x=1$ đến $x=3$ bằng \int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,dx=\ln3 , kèm công thức nguyên hàm undefined f(x)=x^{-1} $với miền xác định$ x\neq0 $, minh họa diện tích dưới đường cong từ$ x=1 $đến$ x=3 $bằng$ \int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,dx=\ln3 $, kèm công thức nguyên hàm$ \displaystyle\" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

4) $oxed{ext{Hàm sin và cos:}}$Nếu$f(x)=3x^2-5x+4$.

Áp dụng công thức đa thức:

" data-math-type="inline"> undefined

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của$f(x)=3x^2-5x+4$.

Áp dụng công thức đa thức:

$ \begin{aligned}
\\
\\
\\
\\
\\
\\

egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace\\

egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace
\\
\ext{(chi tiết)}

egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace\\

egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace

egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace

egthinspace
egthinspace
egthinspace
egthinspace
}
\right.
$