Tính phương sai từ bảng tần số: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Tính phương sai từ bảng tần số: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu

Phương sai là một đại lượng thống kê quan trọng dùng để đo độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Trong chương trình Toán lớp 12, việc tính phương sai từ bảng tần số giúp học sinh nắm vững kỹ năng xử lý dữ liệu phân bố theo các lớp, đồng thời tạo nền tảng cho các khái niệm nâng cao hơn trong thống kê và xác suất.

2. Định nghĩa

Cho bảng tần số phân bố theo các lớp với các giá trị trung tâm $m_i$ và tần số tương ứng $f_i$. Tổng số quan sát là $N = \sum f_i$. Giá trị trung bình $\bar{x}$ được tính theo công thức:

$\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N}$

Phương sai của tổng thể được định nghĩa là:

$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (m_i - \bar{x})^2}{N}$

Trong trường hợp tính phương sai mẫu, công thức thường dùng là:

$s^2 = \frac{\sum f_i (m_i - \bar{x})^2}{N - 1}$

3. Các bước tính phương sai từ bảng tần số

Để tính phương sai từ bảng tần số, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Xác định giá trị trung tâm $m_i$ cho mỗi lớp (điểm giữa của lớp).

- Bước 2: Tính tổng số quan sát $N = \sum f_i$.

- Bước 3: Tính giá trị trung bình $\bar{x} = \frac{\sum f_i m_i}{N}$.

- Bước 4: Tính tổng bình phương sai đoạn $\sum f_i (m_i - \bar{x})^2$.

- Bước 5: Chia tổng này cho $N$ hoặc $N - 1$ tùy chọn tính tổng thể hay mẫu để được phương sai.

Ví dụ minh họa

Cho bảng tần số phân bố điểm kiểm tra môn Toán của 18 học sinh như sau:

Khoảng lớp | Tần số $f_i$| Giá trị trung tâm$m_i$
10–19 | 4 | 14.5
20–29 | 6 | 24.5
30–39 | 5 | 34.5
40–49 | 3 | 44.5

Tổng số quan sát: $N = 4 + 6 + 5 + 3 = 18$.

Tính giá trị trung bình:

$\bar{x} = \frac{4 \times 14.5 + 6 \times 24.5 + 5 \times 34.5 + 3 \times 44.5}{18} = \frac{58 + 147 + 172.5 + 133.5}{18} = \frac{511}{18} \approx 28.39$

Tính tổng bình phương sai:

$\sum f_i (m_i - \bar{x})^2 = 4(14.5 - 28.39)^2 + 6(24.5 - 28.39)^2 + 5(34.5 - 28.39)^2 + 3(44.5 - 28.39)^2$

$= 4 \times 191.4 + 6 \times 15.11 + 5 \times 37.41 + 3 \times 259.67 = 765.6 + 90.66 + 187.05 + 779.01 = 1822.32$

Phương sai tổng thể:

$\sigma^2 = \frac{1822.32}{18} \approx 101.24$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Với dữ liệu là mẫu ngẫu nhiên, sử dụng $s^2$ (chia cho $N - 1$) để tránh sai lệch.

- Khi có khoảng mở rộng vô hạn ở đầu hoặc cuối, ta lấy giá trị trung tâm gần đúng.

- Cần làm tròn đến chữ số thập phân phù hợp để đảm bảo độ chính xác.

- Đảm bảo mọi tần số và tổng tần số được xác định đúng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ hoặc $s = \sqrt{s^2}$.

- Hiệp phương sai và ma trận hiệp phương sai khi có nhiều biến.

- Phân vị, phần trăm vị và các chỉ số phân tán khác.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho bảng tần số phân bố chiều cao (cm) của 20 học sinh:
Khoảng lớp |$f_i$|$m_i$
140–149 | 5 | 144.5
150–159 | 8 | 154.5
160–169 | 4 | 164.5
170–179 | 3 | 174.5

Tính giá trị trung bình và phương sai tổng thể.

Lời giải:
Bước 1: Tính $N = 5 + 8 + 4 + 3 = 20$
Bước 2: Tính $\bar{x} = \frac{5 \times 144.5 + 8 \times 154.5 + 4 \times 164.5 + 3 \times 174.5}{20} = \frac{722.5 + 1236 + 658 + 523.5}{20} = \frac{3140}{20} = 157$
Bước 3: Tính $\sum f_i (m_i - \bar{x})^2 = 5(144.5 - 157)^2 + 8(154.5 - 157)^2 + 4(164.5 - 157)^2 + 3(174.5 - 157)^2 = 5 \times 156.25 + 8 \times 6.25 + 4 \times 56.25 + 3 \times 306.25 = 781.25 + 50 + 225 + 918.75 = 1975$
Bước 4: Phương sai tổng thể $\sigma^2 = \frac{1975}{20} = 98.75$.

Bài tập 2: Sử dụng bảng trên, tính phương sai mẫu $s^2$.

Lời giải:
Sử dụng công thức mẫu$s^2 = \frac{1975}{20 - 1} = \frac{1975}{19} \approx 103.95$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên tính giá trị trung tâm $m_i$ hoặc tính nhầm.

- Quên cộng đủ tần số dẫn đến sai $N$.

- Sai công thức bình phương sai hoặc chia nhầm mẫu/tổng thể.

- Làm tròn quá sớm gây sai số cộng dồn.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương sai đo độ phân tán quanh trung bình.
• Với bảng tần số, sử dụng giá trị trung tâm $m_i$và tần số $f_i$.
• Công thức tổng thể: $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (m_i - \bar{x})^2}{N}$.
• Công thức mẫu: $s^2 = \frac{\sum f_i (m_i - \bar{x})^2}{N - 1}$.
• Luôn kiểm tra kỹ tần số và giá trị trung tâm để tránh sai sót.
• Liên kết chặt với độ lệch chuẩn và các công cụ phân tích dữ liệu khác.