1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học lớp 12.

Trong thống kê và các ứng dụng thực tế, độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán của một tập dữ liệu quanh giá trị trung bình. Khi đo lường qua thí nghiệm hoặc tính toán, kết quả độ lệch chuẩn luôn kèm theo sai số. Sai số tương đối của độ lệch chuẩn cho phép chúng ta đánh giá mức độ chính xác của kết quả đo so với giá trị thực, từ đó so sánh được độ tin cậy của các phép đo trên nhiều thang đo khác nhau.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Cho $\sigma$là độ lệch chuẩn thực của một đại lượng. Sau khi đo hoặc tính toán, ta thu được giá trị xấp xỉ là $\hat\sigma$. Khi đó:

Sai số tuyệt đối của độ lệch chuẩn được định nghĩa là:

$\Delta \sigma = |\hat\sigma - \sigma|.$

Sai số tương đối của độ lệch chuẩn được định nghĩa là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị thực:

$\varepsilon_r = \frac{\Delta \sigma}{\sigma}.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định giá trị thực $\sigma$hoặc giá trị xấp xỉ $\hat\sigma$và sai số tuyệt đối$\Delta \sigma$.

Bước 2: Áp dụng công thức $\varepsilon_r = \frac{\Delta \sigma}{\sigma}$ để tính sai số tương đối. Kết quả thường được biểu diễn dưới dạng phần trăm bằng cách nhân với 100\%.

Ví dụ: Giả sử một loạt phép đo cho độ lệch chuẩn xấp xỉ $\hat\sigma = 2{,}5$và sai số tuyệt đối$\Delta \sigma = 0{,}2$. Khi đó:

$\varepsilon_r = \frac{0{,}2}{2{,}5} = 0{,}08 = 8\%.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi $\sigma$ gần bằng 0, sai số tương đối có thể rất lớn hoặc không xác định.

- Sai số tương đối luôn dương và không phụ thuộc đơn vị của đại lượng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Sai số tương đối liên quan mật thiết đến khái niệm sai số tuyệt đối, độ lệch chuẩn và độ chính xác trong đo lường. Ngoài ra, khái niệm này cũng thường xuất hiện trong tính sai số tương đối của các đại lượng trung tâm như trung bình, phương sai và các đại lượng thống kê khác.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tập dữ liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Tính độ lệch chuẩn và sai số tương đối khi sai số tuyệt đối của độ lệch chuẩn là $0{,}3$.

Lời giải:
Bước 1: Tính trung bình:

$\bar x = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6.$

Bước 2: Tính phương sai:

$s^2 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar x)^2 = \frac{16+4+0+4+16}{5} = 8.$

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{8} \approx 2{,}828.$

Bước 4: Tính sai số tương đối:

$\varepsilon_r = \frac{0{,}3}{2{,}828} \approx 0{,}106 = 10{,}6\%.$

Bài tập 2: Cho độ lệch chuẩn thực là $\sigma = 5$, kết quả đo xấp xỉ $\hat\sigma = 4{,}8$. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối.

Lời giải:
Sai số tuyệt đối:

$\Delta \sigma = |4{,}8 - 5| = 0{,}2.$

Sai số tương đối:

$\varepsilon_r = \frac{0{,}2}{5} = 0{,}04 = 4\%.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Luôn kiểm tra công thức kỹ càng.

- Không kiểm tra điều kiện $\sigma \neq 0$ trước khi tính, dẫn đến kết quả không xác định.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Sai số tương đối của độ lệch chuẩn cho biết tỷ lệ sai số tuyệt đối trên giá trị thực.
• Công thức: $\varepsilon_r = \frac{\Delta \sigma}{\sigma}$.
• Kết quả thường biểu diễn dưới dạng phần trăm.
• Cần lưu ý giá trị $\sigma$ không được bằng 0.