Blog

Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay – Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 12, khái niệm "tính thể tích khối tròn xoay" là một phần quan trọng trong chủ đề ứng dụng của tích phân. Kiến thức này không chỉ phục vụ kỳ thi THPT Quốc gia mà còn liên hệ sâu sắc với thực tiễn (ví dụ: tính thể tích các vật thể hình tròn xoay trong kỹ thuật, xây dựng, hóa học…). Hiểu rõ cách xác định thể tích khối tròn xoay giúp học sinh củng cố cả kiến thức tích phân và hình học không gian, đồng thời rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề toán học phức tạp.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Khối tròn xoay là khối hình học thu được khi quay một hình phẳng quanh một trục cố định (thường là trục Ox hoặc Oy). Thể tích khối tròn xoay được xác định bằng cách sử dụng tích phân.

Giả sử khi quay một miền phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x)y = f(x)(liên tục, không âm trên đoạn[a,b][a, b]),x=ax = a,x=bx = bvà trục Ox quanh trục Ox, thì thể tích khối tròn xoay tạo thành là:


V = pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx

Công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy (vớix=g(y)x = g(y)liên tục trên[c,d][c, d]) là:


V = pi\int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định miền cần quay và trục quay (thường là Ox, Oy).

Bước 2: Xác định hàm giới hạn miền (ví dụ y=f(x)y = f(x)).

Bước 3: Ghi công thức tích phân thích hợp.

Bước 4: Thay hàm và cận vào công thức tích phân.

Bước 5: Tính giá trị tích phân được (dùng các phương pháp tính tích phân cơ bản, đổi biến, từng phần nếu cần…).

- Ví dụ minh họa:

Cho hàm số y=x2y = x^2trên đoạn[0;2][0; 2]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởiy=x2y = x^2, trục Ox,x=0x = 0,x=2x = 2quanh trục Ox.

Áp dụng công thức: V =π\pi\int02[x2]2dx=_{0}^{2} [x^2]^2 dx =\pi02x4dx\int_{0}^{2} x^4 dx

Tính tích phân:
<br/>02x4dx=x5502=2550=325<br/><br />\int_{0}^{2} x^4 dx = \left.\frac{x^5}{5}\right|_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - 0 = \frac{32}{5}<br />

Vậy:
<br/>V=π325=32π5<br/><br />V = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}<br />

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a) Miền giới hạn bởi hai hàm số: Nếu miền giới hạn bởi 2 hàmy=f(x)y = f(x)y=g(x)y = g(x)(vớif(x)g(x)0f(x) \geq g(x) \geq 0), thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox là:


V =π\pi\int$_{a}^{b} ( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 ) dx

b) Quay quanh trục Oy hoặc trục song song: Dùng biến đổi hàm số phần tử, đổi cận cho phù hợp.

c) Lưu ý về khoảng xác định hàm và miền tích phân: Phải xác định đúng miền tích phân, chú ý đối với các miền không liên tục hoặc có giá trị âm (chỉ lấy phần miền nằm phía trên trục được yêu cầu).

d) Trường hợp quay quanh trục song song với Ox hoặc Oy (ví dụ:y=ay = a,x=bx = b), phải sử dụng phương pháp vỏ trụ hoặc thay đổi biến số theo khoảng cách đến trục quay.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên hệ với tích phân xác định (abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx): Công thức tính thể tích khối tròn xoay là một ứng dụng của tích phân xác định.
- Liên hệ với diện tích hình phẳng: Trong quá trình giải, thường cần tính diện tích trước khi quay để hình dung hình thể tích tạo thành.
- Ứng dụng hằng số π\pi(liên quan đến đường tròn) trong công thức tích phân.
- Mối liên hệ với các kiến thức về hàm số, hình học không gian, kỹ năng đổi biến số tích phân.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài tập 1:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi y=xy = \sqrt{x}, x=0x = 0, x=4x = 4 quanh trục Ox.

Lời giải:
Áp dụng công thức:
<br/>V=π04[x]2dx=π04xdx<br/><br />V = \pi \int_{0}^{4} [\sqrt{x}]^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx<br />

<br/>04xdx=x2204=1620=8<br/><br />\int_{0}^{4} x dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^4 = \frac{16}{2} - 0 = 8<br />

Vậy thể tích là:
V=8πV = 8\pi

- Bài tập 2:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởiy=x+1y = x + 1,y=0y = 0,x=0x = 0,x=3x = 3quanh trục Ox.

Lời giải: V =π\pi\int03_{0}^{3}(x+1)$^2 dx

Khai triển:
<br/>(x+1)2=x2+2x+1<br/><br />(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1<br />
Nên:
<br/>V=π03(x2+2x+1)dx=π[x33+x2+x]03<br/><br />V = \pi \int_{0}^{3} (x^2 + 2x + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{3}<br />

<br/>=π[(273+9+3)0]=π(9+9+3)=π21<br/><br />= \pi \left[ \left(\frac{27}{3} + 9 + 3\right) - 0 \right] = \pi (9 + 9 + 3) = \pi \cdot 21<br />

Vậy thể tích cần tìm là 21π21\pi.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn cận tích phân (chọn sai miền tính thể tích).
  • Không bình phương đúng hàm trước khi tích phân (khối tròn xoay yêu cầu diện tích mặt tròn là [f(x)]2[f(x)]^2hoặc[g(y)]2[g(y)]^2).
  • Quên nhân vớiπ\pitrong công thức.
  • Nhầm lẫn giữa thể tích quay quanh Ox với Oy.
  • Không đổi biến số và cận đúng khi hàmy=f(x)y = f(x)hoặcx=g(y)x = g(y).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Công thức tính thể tích khối tròn xoay là ứng dụng của tích phân xác định (π[f(x)]2dx\pi \int [f(x)]^2 dxhoặcπ[g(y)]2dy\pi\int [g(y)]^2 dy).
  • Cần xác định chính xác miền giới hạn và hàm số trước khi áp dụng công thức.
  • Có thể gặp các trường hợp đặc biệt (giới hạn bởi 2 đường, quay quanh trục song song).
  • Hãy kiểm tra kỹ cận tích phân và cách nhânπ\picho kết quả cuối cùng.
  • Hình dung hình học sẽ giúp giải được nhiều tình huống thực tế và đề thi nâng cao.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".