Tính tích phân xác định bằng định nghĩa

1. Giới thiệu

Tích phân xác định là công cụ cơ bản trong Giải tích, được dùng để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, công suất trong vật lý và nhiều ứng dụng khác. Việc hiểu rõ "Tính tích phân xác định bằng định nghĩa" giúp học sinh nắm vững bản chất của phép tính này trước khi áp dụng các kỹ thuật tính nhanh bằng nguyên hàm.

2. Định nghĩa chính xác

Cho hàm $f$ xác định và bounded trên đoạn $[a,b]$. Chia đoạn $[a,b]$ thành $n$ phần nhỏ bởi các điểm phân hoạch $P:\,a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$. Gọi $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ và chọn một điểm mẫu $x_i^* \in [x_{i-1},x_i]$.

Khi $n\to\infty$ và mọi độ dài tối đa của các khoảng con $\max\Delta x_i\to0$, nếu giới hạn sau tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch và điểm mẫu, ta định nghĩa tích phân xác định của $f$ trên $[a,b]$ như sau:

$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Các bước tính tích phân xác định theo định nghĩa Riemann:

Bước 1: Chia miền $[a,b]$ thành $n$ phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài $\Delta x=\tfrac{b-a}{n}$.

Bước 2: Chọn điểm mẫu $x_i^*=a+i\,\Delta x$ (ví dụ đánh dấu phải hoặc trái hoặc trung điểm) trong mỗi khoảng con.

Bước 3: Thiết lập tổng Riemann $S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$.

Bước 4: Tính giới hạn $\lim_{n\to\infty}S_n$ nếu tồn tại.

Ví dụ: Tính $\int_0^1 x\,dx$ bằng định nghĩa.

Chia $[0,1]$ thành $n$ phần: $\Delta x=1/n$. Chọn $x_i^*=i/n$. Khi đó

$S_n=\sum_{i=1}^n f\bigl(x_i^*\bigr)\Delta x=\sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}.$

Lấy giới hạn khi $n\to\infty$:

$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12.$

Vậy $\int_0^1 x\,dx=\tfrac12$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Hàm không liên tục điểm đơn lẻ nhưng vẫn Riemann tích phân được nếu tập điểm gián đoạn có measure bằng 0.
- Với hàm hằng$f(x)=C$, dễ thấy$\int_a^b C\,dx=C(b-a).$
- Hàm lẻ trên$[-a,a]$cho tích phân bằng 0, hàm chẵn cho$2\int_0^a f(x)\,dx$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Định nghĩa tích phân bằng giới hạn tổng Riemann là nền tảng để phát triển Định lý cơ bản của Giải tích, liên kết chặt chẽ giữa đạo hàm và tích phân: nếu $F$ là nguyên hàm của $f$, thì

$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Việc hiểu bản chất tổng Riemann giúp nắm rõ các phương pháp biến số, tích phân từng phần, và ước lượng tích phân.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính $\int_0^2 x^2\,dx$ bằng định nghĩa.

Giải:
Chia$[0,2]$thành$n$phần đều:$\Delta x=2/n$, chọn$x_i^*=2i/n$.

$S_n=\sum_{i=1}^n \Bigl(\frac{2i}{n}\Bigr)^2 \cdot \frac{2}{n}=\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2=\frac{8}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Khi $n\to\infty$:

$\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{8(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{8 \cdot 2}{6}=\frac{8}{3}.$

Vậy $\int_0^2 x^2\,dx=\tfrac{8}{3}$.

Bài tập 2: Tính $\int_1^4 3x\,dx$ theo định nghĩa.

Giải:
Chia thành$n$phần:$\Delta x=3/n$, chọn$x_i^*=1+3i/n$.

$S_n=\sum_{i=1}^n 3\bigl(1+\tfrac{3i}{n}\bigr) \cdot \frac{3}{n} = \frac{9}{n}\sum_{i=1}^n \Bigl(1+\frac{3i}{n}\Bigr).$

Tính tổng: $\sum_{i=1}^n1=n$, $\sum_{i=1}^n i=\tfrac{n(n+1)}{2}$:

$S_n=\frac{9}{n}\Bigl(n+\frac{3n(n+1)}{2n}\Bigr)=9+\frac{27(n+1)}{2n}.$

Khi $n\to\infty$,$S_n\to9+\frac{27}{2}=\frac{45}{2}.$Vậy$\int_1^4 3x\,dx=\tfrac{45}{2}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không chia đúng khoảng hoặc tính sai$\Delta x$.
- Quên nhân$\Delta x_i$trong tổng Riemann.
- Lấy giới hạn sai khi biến thiên của$n$.
- Không kiểm tra điều kiện Riemann tích phân được.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tích phân xác định theo định nghĩa là giới hạn của tổng Riemann.
- Công thức cơ bản: $\int_a^b f(x)\,dx=\lim\sum f(x_i^*)\Delta x_i.$
- Liên hệ với nguyên hàm qua Định lý cơ bản.
- Lưu ý điều kiện tính Riemann và cách chia khoảng.