Blog

Tính tích phân xác định bằng định nghĩa: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về "Tính tích phân xác định bằng định nghĩa"

Tích phân xác định là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích lớp 12, là công cụ chủ lực để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và giải nhiều bài toán ứng dụng trong thực tiễn và khoa học. Việc hiểu và biết vận dụng định nghĩa tích phân xác định không chỉ giúp học sinh nắm vững phần lý thuyết trọng tâm mà còn là nền tảng để học tiếp các kiến thức giải tích ở bậc đại học.

2. Định nghĩa tích phân xác định

Giả sử f(x)f(x)là một hàm số liên tục trên đoạn[a,b][a, b]. Tích phân xác định củaf(x)f(x)trên đoạn[a,b][a, b] được định nghĩa như sau:

\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x

Trong đó:

  • Đoạn[a,b][a, b] được chia thànhnnphần nhỏ, mỗi phần có độ dàiΔx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}
  • xi<em>x_i^<em>là một điểm bất kỳ thuộc đoạn nhỏ thứ ii, cụ thể là xi</em>[xi1,xi]x_i^</em> \in [x_{i-1}, x_i]vớix0=ax_0 = a,xn=bx_n = b
  • i=1nf(xi)Δx\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x gọi là tổng Riemann

3. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, hãy cùng đi từng bước tính tích phân xác định bằng định nghĩa qua ví dụ sau:

Ví dụ: Tính01x2dx\int_{0}^{1} x^2 dxbằng định nghĩa.

  • Chia đoạn[0,1][0, 1]thànhnnphần bằng nhau:Δx=10n=1n\Delta x = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n}
  • Chọnxi<em>x_i^<em>là điểm cuối phải của đoạn nhỏ thứ ii, tức là xi</em>=xi=a+iΔx=0+i1n=inx_i^</em> = x_i = a + i\Delta x = 0 + i \cdot \frac{1}{n} = \frac{i}{n}
  • Tổng Riemann: Sn=i=1nf(xi)Δx=i=1n((in)2)1nS_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \frac{i}{n} \right)^2 \right) \frac{1}{n}
  • Tức là Sn=i=1ni2n21n=1n3i=1ni2S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2
  • Biết rằng i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}nênSn=n(n+1)(2n+1)6n3S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
  • Lấy giới hạn khinn \to \infty:

Vậy tích phân xác định01x2dx=13\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Hàm số không liên tục trên[a,b][a, b]thì tích phân xác định không nhất thiết tồn tại.
  • Có thể chọnxix_i^*là điểm đầu, điểm cuối hoặc điểm bất kỳ trong đoạn nhỏ. Thường chọn điểm cuối bên phải cho thuận tiện tính toán.
  • Nếu tổng Riemann hội tụ khinn \to \inftythì đó là giá trị tích phân xác định.
  • Đối với hàm bậc cao hơn, có thể sử dụng công thức tổng các lũy thừa của tự nhiên như i=1ni\sum_{i=1}^{n} i, i=1ni2\sum_{i=1}^{n} i^2, i=1ni3\sum_{i=1}^{n} i^3,... để tính tổng Riemann.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Tích phân xác định và diện tích hình phẳng: Tích phânabf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dxlà diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y = f(x), trục hoành và hai đường thẳngx=ax = a,x=bx = b(nếuf(x)0f(x) \geq 0trên[a,b][a, b]).
  • Tích phân xác định liên hệ chặt chẽ với nguyên hàm qua Định lý cơ bản của Giải tích:abf(x)dx=F(b)F(a)\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)vớiF(x)F(x)là một nguyên hàm củaf(x)f(x). Khi biết định nghĩa bạn có thể chứng minh định lý này.
  • Ứng dụng thực tiễn: Tích phân xác định dùng để tính diện tích, thể tích, quãng đường, công cơ học, tổng lượng vật chất...

6. Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1: Tính tích phân sau bằng định nghĩa:

Hình minh họa: Minh họa định nghĩa tích phân xác định của hàm f(x)=x² trên đoạn [0, 1] thông qua tổng Riemann với n=5 và các hình chữ nhật tại các điểm mẫu trung điểm xᵢ*
Minh họa định nghĩa tích phân xác định của hàm f(x)=x² trên đoạn [0, 1] thông qua tổng Riemann với n=5 và các hình chữ nhật tại các điểm mẫu trung điểm xᵢ*
Hình minh họa: Minh họa Tổng Riemann <span class= S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} cho hàm y=x2y = x^2 trên khoảng [0,1][0,1] với n=5n=5 . Các hình chữ nhật có độ rộng Δx=0.2\Delta x = 0.2 , điểm đánh giá phải "title="Hıˋnhminhha:MinhhaTngRiemann" title="Hình minh họa: Minh họa Tổng Riemann S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} chohaˋmcho hàm y = x^2 tre^nkhongtrên khoảng [0,1] vivới n=5 .Caˊchıˋnhchnhtcoˊđộrng. Các hình chữ nhật có độ rộng \Delta x = 0.2 ,đimđaˊnhgiaˊphi, điểm đánh giá phải " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
Minh họa Tổng Riemann S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} cho hàm y=x2y = x^2 trên khoảng [0,1][0,1] với n=5n=5 . Các hình chữ nhật có độ rộng Δx=0.2\Delta x = 0.2 , điểm đánh giá phải $

Giải:

  • Chia[0,2][0, 2]thànhnnphần:Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n}
  • Chọnxix_i^*là điểm cuối phải:xi=0+iΔx=2inx_i = 0 + i \Delta x = \frac{2i}{n}
  • Tổng Riemann: Sn=i=1nf(xi)Δx=i=1n2in2n=4n2i=1niS_n = \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n} \cdot \frac{2}{n} = \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^n i
  • i=1ni=n(n+1)2Sn=4n2n(n+1)2=2n+1n\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow S_n = \frac{4}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 2 \cdot \frac{n+1}{n}
  • Lấy giới hạn khinn \to \infty,limn2n+1n=2\lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{n+1}{n} = 2

VậyI=2I = 2

Bài 2: TínhI=13(2x+1)dxI = \int_{1}^{3} (2x+1) dxbằng định nghĩa.

  • Chia[1,3][1,3]thànhnnphần:Δx=31n=2n\Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n}
  • Chọnxi=1+iΔx=1+2inx_i = 1+ i \Delta x = 1 + \frac{2i}{n}
  • Tổng Riemann: Sn=i=1nf(xi)Δx=i=1n(2xi+1)ΔxS_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} (2x_i+1)\Delta x
  • =i=1n[2(1+2in)+1]2n= \sum_{i=1}^n \left[2 \left(1+\frac{2i}{n}\right) + 1 \right] \frac{2}{n}
  • =i=1n(2+4in+1)2n=i=1n(3+4in)2n= \sum_{i=1}^n \left(2+\frac{4i}{n} + 1 \right)\frac{2}{n} = \sum_{i=1}^n \left(3+\frac{4i}{n}\right)\frac{2}{n}
  • =i=1n(6n+8in2)= \sum_{i=1}^n \left(\frac{6}{n} + \frac{8i}{n^2} \right)
  • Sn=i=1n6n+i=1n8in2=6+8n2i=1niS_n = \sum_{i=1}^n \frac{6}{n} + \sum_{i=1}^n \frac{8i}{n^2} = 6 + \frac{8}{n^2}\sum_{i=1}^n i
  • i=1ni=n(n+1)2Sn=6+8n2n(n+1)2=6+4n+1n\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\Longrightarrow S_n = 6 + \frac{8}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 6 + 4\frac{n+1}{n}
  • Khinn\to\infty,Sn6+4=10S_n\to 6 + 4 =10

VậyI=10I = 10.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn giữaxix_ixix_i^*: Cần xác định rõ chọn điểm nào trong đoạn nhỏ.
  • Tính sai tổng các số tự nhiên: Đối với i=1ni2\sum_{i=1}^n i^2, i=1ni3\sum_{i=1}^n i^3 phải thuộc lòng hoặc tra cứu đúng công thức.
  • Không lấy giới hạn hoặc lấy sai giới hạn khinn \to \infty
  • Quên nhân vớiΔx\Delta xhoặc nhân sai
  • Không để ý điều kiện liên tục của hàm số trên đoạn[a,b][a, b]

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Tích phân xác định được định nghĩa thông qua giới hạn tổng Riemann khi số đoạn con tiến tới vô cực.
  • Cần biết cách chia đều đoạn[a,b][a, b], chọn điểmxix_i^*phù hợp và vận dụng đúng công thức tổng các lũy thừa tự nhiên để tính tổng Riemann.
  • Việc hiểu sâu định nghĩa giúp bạn hiểu bản chất tích phân và nền tảng cho các ứng dụng tiếp theo trong toán và thực tiễn.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".