Giới thiệu (Mở đầu)

Trong chương trình Toán học lớp 12, khái niệm tích vô hướng của hai vectơ đóng vai trò then chốt cả về mặt đại số lẫn hình học. Hiểu rõ khái niệm này giúp các em nắm vững cách xác định góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc, song song và ứng dụng trong vật lý, cơ học và đồ họa máy tính.

1. Khái niệm và tầm quan trọng

Tích vô hướng (hay còn gọi là tích scalar) cho biết mức độ nhân nhau của hai vectơ theo hướng cùng phương. Đây là công cụ quan trọng trong:

- Xác định góc giữa hai vectơ
- Kiểm tra tính vuông góc (perpendicularity)
- Ứng dụng trong định vị, đồ họa 3D và cơ học

2. Định nghĩa chính xác

Cho hai vectơ trong không gian$<br />\mathbb{R}^3$,$<br />\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$và $<br />\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$. Tích vô hướng của$<br />\mathbf{a}$và $<br />\mathbf{b}$ được định nghĩa bởi

$<br />\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.<br />$

Về mặt hình học, nếu$\theta$là góc giữa hai vectơ, thì

$<br />\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos \theta,<br />$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định thành phần của mỗi vectơ.

Ví dụ: Cho$\mathbf{a}=(2,-1,3)$và $\mathbf{b}=(1,4,-2)$.

Bước 2: Áp dụng công thức tọa độ:

$<br />\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=2 \times 1+(-1) \times 4+3 \times (-2)=2-4-6=-8.<br />$

Bước 3: Giải thích kết quả. Ở đây tích vô hướng âm cho biết góc giữa$\mathbf{a}$và $\mathbf{b}$lớn hơn$90^\circ$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$và cả hai không phải vectơ không, thì hai vectơ vuông góc.
- Nếu$\mathbf{a}$và $\mathbf{b}$cùng hướng,$\cos \theta=1$nên$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|$.
- Vectơ không$\mathbf{0}$luôn cho tích vô hướng bằng 0 với mọi vectơ.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Độ dài vectơ: $\|\mathbf{a}\|=\sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$.
- Phép chiếu vuông góc: $\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\bigl(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\bigr)\mathbf{b}$.
- Trong không gian cao hơn, công thức tọa độ mở rộng tương tự.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\mathbf{u}=(3,0,-2)$và $\mathbf{v}=(-1,4,1)$. Tính$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$và xác định xem hai vectơ vuông góc không.

Lời giải 1:
$<br />\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=3 \times (-1)+0 \times 4+(-2) \times 1=-3+0-2=-5.<br />$
Do tích không bằng 0, hai vectơ không vuông góc.

Bài tập 2: Cho$\mathbf{p}=(1,2,2)$và $\mathbf{q}=(2,1,-2)$. Tính góc giữa$\mathbf{p}$và $\mathbf{q}$.

Lời giải 2:
1) Tích vô hướng:
$\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}=1 \times 2+2 \times 1+2 \times (-2)=2+2-4=0.$
2) Vì tích = 0 và cả hai không phải vectơ không, nên$\theta=90^\circ$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn thứ tự thành phần khi lấy tích
- Quên dấu âm của thành phần
- Không phân biệt giữa tích vô hướng và tích vectơ (vector product)
Cách tránh: Viết rõ từng bước, kiểm tra dấu và thứ tự thành phần.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Định nghĩa mặt số: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}= \sum a_i b_i$.
• Định nghĩa hình học: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos \theta$.
• Kiểm tra vuông góc khi tích = 0.
• Ứng dụng: tính góc, chiếu vuông góc, xác định quan hệ song song, vuông góc.