Tính xác suất có điều kiện – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về "Tính xác suất có điều kiện" và tầm quan trọng trong toán học lớp 12

Xác suất có điều kiện là một trong những khái niệm cơ bản và trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12. Đây không chỉ là kiến thức quan trọng trong các đề thi THPT Quốc gia mà còn có ý nghĩa thực tiễn lớn trong cuộc sống và nhiều lĩnh vực khoa học như thống kê, kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin, v.v. Việc nắm vững kiến thức về xác suất có điều kiện giúp học sinh tư duy logic, giải quyết các bài toán thực tiễn và củng cố nền tảng cho các bậc học cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác Xác suất có điều kiện

Giả sử ta có hai biến cố $A$và $B$trong một không gian mẫu$S$, với$P(B) > 0$. Khi đó, xác suất của biến cố $A$với điều kiện rằng biến cố $B$đã xảy ra được ký hiệu là$P(A|B)$.

Công thức xác suất có điều kiện:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Trong đó:

• $P(A|B)$: Xác suất để biến cố $A$xảy ra khi$B$ đã xảy ra.
• $P(A \cap B)$: Xác suất để cả $A$và $B$cùng xảy ra.
• $P(B)$: Xác suất để biến cố $B$xảy ra.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ thực tế: Xét một bộ bài tây 52 lá. Gọi$A$là biến cố "rút được lá bài màu đỏ",$B$là biến cố "rút được lá bài hình cơ (♥). Hãy tính xác suất để rút được lá bài màu đỏ biết rằng đã rút được lá bài hình cơ.

Phân tích từng bước:

• Toàn bộ không gian mẫu$S$có 52 lá bài.
• Biến cố $B$: "Rút được lá bài hình cơ" có $13$lá. Vậy$P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
• Biến cố $A$: "Rút được lá bài đỏ" (tức là cơ hoặc rô), tổng cộng$26$lá.
• Giao$A \cap B$: "Rút được lá bài vừa là cơ, vừa là đỏ", tức là tất cả 13 lá cơ. Vậy$P(A \cap B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
• Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = 1$

Kết luận: Khi đã biết rút được bài hình cơ, chắc chắn lá đó cũng là lá đỏ, nên xác suất là 1.

Ví dụ 2: Một hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để viên thứ hai lấy ra là đỏ với điều kiện viên thứ nhất đã lấy là xanh.

Ta gọi$A$: "Viên thứ hai là đỏ",$B$: "Viên thứ nhất là xanh".

• Số cách chọn viên thứ nhất là xanh: 4
• Sau khi lấy 1 viên xanh, còn lại 6 đỏ và 3 xanh (tổng 9 viên). Số cách chọn viên thứ hai là đỏ: 6
• Tổng số trường hợp lấy 2 bi:$10 \times 9$(chọn lần lượt 2 viên từ 10 viên; không hoàn lại).
• P(B): Xác suất viên thứ nhất là xanh:$\frac{4}{10}$.
• P(A ∩ B): Viên đầu là xanh, viên sau là đỏ:$\frac{4}{10} \times \frac{6}{9}$.
• Áp dụng công thức:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{4}{10} \times \frac{6}{9}}{\frac{4}{10}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một số lưu ý và trường hợp đặc biệt:

• $P(A|B)$chỉ xác định khi$P(B) > 0$.
• Nếu hai biến cố $A$và $B$độc lập (không ảnh hưởng đến nhau) thì$P(A|B) = P(A)$.
• Nếu $A \subset B$thì $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$do$A \cap B = A$.

Các lưu ý khác khi áp dụng:

• Hiểu rõ các biến cố và mối quan hệ giữa chúng.
• Tính đúng$P(A \cap B)$trước khi áp dụng công thức.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Xác suất có điều kiện liên hệ mật thiết với:

• Công thức nhân xác suất:$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$.
• Công thức xác suất toàn phần: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$với$\{B_1, B_2,..., B_n\}$ là một phân hoạch của không gian mẫu.
• Định lý Bayes: $P(B_k|A) = \frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)}$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Gieo hai đồng xu, tính xác suất mặt ngửa xuất hiện ở đồng thứ hai, biết rằng kết quả có đúng một mặt ngửa.

Hướng dẫn giải:

1. Không gian mẫu: {NN, NS, SN, SS} (N: ngửa, S: sấp)
2. Biến cố $B$: "có đúng một mặt ngửa". Các trường hợp thỏa: "NS" và "SN" ($n(B) = 2$)
3. Biến cố $A$: "đồng xu thứ hai là ngửa". Xét cùng$B$thì chỉ có trường hợp "SN".
4. $P(A|B) = \frac{1}{2}$.

Bài tập 2: Từ tập gồm 5 nam và 7 nữ, lập một tổ công tác gồm 3 người. Tính xác suất để chọn được 1 nam, 2 nữ biết rằng trong tổ đó có ít nhất 1 nữ.

Hướng dẫn giải:

1. Tổng số cách chọn tổ 3 người:$C_{12}^3$.
2. Biến cố $B$: "tổ có ít nhất 1 nữ". Số cách =$C_{12}^3 - C_{5}^3$(trừ hết nam).
3. Biến cố $A \cap B$: "có 1 nam 2 nữ". Số cách:$C_{5}^1 \times C_{7}^2$.
4. $P(A|B) = \frac{C_{5}^1 C_{7}^2}{C_{12}^3 - C_{5}^3}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Xác định sai không gian mẫu (phân biệt rõ điều kiện cho trước).
• Nhầm lẫn giữa xác suất có điều kiện và xác suất giao nhau.
• Không kiểm tra điều kiện$P(B) > 0$.
• Lẫn lộn thứ tự biến cố trong công thức.
• Không chú ý tới thứ tự giải bài toán (nên vẽ sơ đồ cây hoặc bảng khi cần).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Hiểu đúng bản chất “có điều kiện” là xác suất xảy ra một biến cố khi biết một biến cố khác đã xảy ra.
• - Công thức:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$(với$P(B) > 0$).
• - Ứng dụng thực tế và quan hệ với các công thức khác: công thức nhân, công thức xác suất toàn phần, định lý Bayes.
• - Đọc kỹ đề, xác định đúng các biến cố và điều kiện.

Hy vọng với kiến thức trên, các bạn học sinh lớp 12 sẽ tự tin vận dụng "Tính xác suất có điều kiện" vào nhiều dạng bài tập cũng như ứng dụng trong thực tiễn. Chúc các bạn học tốt!