Blog

Lớp 12

Tính xác suất có điều kiện: Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho lớp 12

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của xác suất có điều kiện

Trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 12, xác suất có điều kiện là một phần quan trọng trong chương VI - Xác suất và Thống kê. Đây là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi đã biết một sự kiện khác đã xảy ra. Khái niệm này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia mà còn có ứng dụng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực như khoa học, kỹ thuật, kinh tế, y tế,...Việc hiểu rõ xác suất có điều kiện không chỉ giúp các em chinh phục các dạng bài toán xác suất mà còn nâng cao khả năng logic, tư duy phản biện.

2. Định nghĩa chính xác về xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố trong không gian xác suất(extΩ,extF,P)(ext{Ω}, ext{F}, P)vớiP(B)>0P(B) > 0, thì xác suất của biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, ký hiệu là P(A∣B)P(A|B).

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Trong đó:

  • P(A∣B)P(A|B)là xác suất có điều kiện của biến cố A khi B đã xảy ra.
  • P(A∩B)P(A \cap B)là xác suất đồng thời cả A và B đều xảy ra.
  • P(B)P(B)là xác suất của biến cố B (và phải đảm bảoP(B)>0P(B) > 0).

    • 3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Rút bài trong bộ bài Tây chuẩn

    Có 52 lá trong bộ bài. Gọi A là biến cố "rút được lá K" và B là biến cố "rút được lá bích".

    Hỏi: Xác suất rút được lá K, biết rằng đã rút được lá bích là bao nhiêu?

    Các bước giải:

    • Bước 1: TínhP(B)P(B)– xác suất rút được lá bích
    P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}
    • Bước 2: TínhP(A∩B)P(A \cap B)– xác suất rút được lá vừa là K vừa là bích (tức là lá K bích)
    P(A \cap B) = \frac{1}{52}
    • Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
    P(A|B) = \frac{1/52}{1/4} = \frac{1}{13}

    Vậy xác suất rút được lá K khi biết đã rút lá bích là 113\frac{1}{13}.

    Ví dụ 2: Lấy bóng từ hộp

    Một hộp có 5 bóng đỏ và 3 bóng xanh. Chọn ngẫu nhiên một bóng. Gọi A: "Lấy được bóng đỏ"; B: "Lấy được bóng có số chia hết cho 3". Biết các số trên bóng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

    Xác suất lấy được bóng đỏ, biết rằng bóng đó có số chia hết cho 3 là bao nhiêu?

  • Các số chia hết cho 3 là: 3 và 6.
  • Kiểm tra màu của 3 và 6: giả sử bóng số 3 là đỏ, bóng số 6 là xanh.
  • P(B)P(B)= xác suất lấy được số chia hết cho 3 =28=14\frac{2}{8} = \frac{1}{4}
  • P(A∩B)P(A \cap B)= xác suất lấy được bóng số 3 (vừa đỏ vừa chia hết cho 3) =18\frac{1}{8}
    • P(A|B) = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}

    Vậy xác suất cần tìm là 12\frac{1}{2}.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • NếuAAvà BBđộc lập (tức làP(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A)), thì việc xảy ra củaBBkhông ảnh hưởng đến xác suất củaAA.
  • Nếu A⊂BA \subset B, thì P(A∣B)=P(A)P(B)P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}(doA∩B=AA \cap B = A).
  • NếuP(B)=0P(B)=0, công thức xác suất có điều kiện không xác định. Phải đảm bảoP(B)>0P(B) > 0.

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Công thức xác suất toàn phần: Nếu B1,B2,...,BnB_1, B_2,..., B_n là một phân hoạch của không gian mẫu thì:
    P(A)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)
  • Công thức Bayes:
    P(Bj∣A)=P(A∣Bj)P(Bj)∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}
  • Liên hệ với biến cố độc lập: NếuAAvà BBđộc lập thìP(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A)và ngược lại.
    • Hình minh họa: Sơ đồ Venn minh họa không gian mẫu của một xúc xắc {1,2,3,4,5,6}, với tập A = {2,4,6} (số chẵn) và tập B = {4,5,6} (số >3), hiển thị giao A∩B = {4,6} và kết quả P(A|B) = 2/3.
    Sơ đồ Venn minh họa không gian mẫu của một xúc xắc {1,2,3,4,5,6}, với tập A = {2,4,6} (số chẵn) và tập B = {4,5,6} (số >3), hiển thị giao A∩B = {4,6} và kết quả P(A|B) = 2/3.
    Hình minh họa: Sơ đồ Venn minh hoạ không gian mẫu Ω với hai biến cố A (màu cam) và B (màu xanh) giao nhau tại A ∩ B, kèm công thức xác suất có điều kiện <span class= P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} " title="Hình minh họa: Sơ đồ Venn minh hoạ không gian mẫu Ω với hai biến cố A (màu cam) và B (màu xanh) giao nhau tại A ∩ B, kèm công thức xác suất có điều kiện P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
    Sơ đồ Venn minh hoạ không gian mẫu Ω với hai biến cố A (màu cam) và B (màu xanh) giao nhau tại A ∩ B, kèm công thức xác suất có điều kiện P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

    6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Xúc xắc

    Một con xúc xắc sáu mặt. Gọi A: "số chẵn"; B: "số lớn hơn 3".
    TínhP(A∣B)P(A|B).

  • Số lớn hơn 3: 4, 5, 6 (n(B)=3n(B) = 3)
  • Số vừa chẵn vừa lớn hơn 3: 4 và 6 (n(A∩B)=2n(A \cap B) = 2)
    • P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
    P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
    P(A|B) = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}

    Bài tập 2: Chọn học sinh

    Lớp có 12 học sinh nữ và 8 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Gọi A: "Được chọn là nữ"; B: "Được chọn là học sinh có điểm giỏi" (trong đó học sinh giỏi có 6 nam và 6 nữ). Tính xác suất chọn được nữ khi biết rằng học sinh đó giỏi.

  • Số học sinh giỏi:6+6=126 + 6 = 12(tứcP(B)=12/20=3/5P(B) = 12/20 = 3/5)
  • Nữ và giỏi:6/206/20(tứcP(A∩B)=6/20=3/10P(A \cap B) = 6/20 = 3/10)
    • P(A|B) = \frac{3/10}{3/5} = \frac{3/10}{6/10} = \frac{1}{2}

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn giữaP(A∣B)P(A|B)và P(B∣A)P(B|A). Phải xác định rõ điều kiện và biến cố cần tính.
  • Quên kiểm tra điều kiệnP(B)>0P(B) > 0.
  • Xác định sai tập hợpA∩BA \cap B, dẫn đến tính sai xác suất.
  • Nhầm số phần tử củaBBvới số phần tử củaΩΩ.

    • 8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

  • Xác suất có điều kiện giúp tính xác suất của một biến cố khi đã biết biến cố khác xảy ra.
  • Công thức:P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, vớiP(B)>0P(B) > 0.
  • Cần xác định đúng biến cố AA,BBvà chỉ số hóa các phần tử khi cần tínhA∩BA \cap B.
  • Áp dụng công thức xác suất toàn phần, Bayes phù hợp cho các bài toán phân hoạch.
  • Tránh các lỗi về điều kiện, nhầm lẫn biến cố hoặc mẫu số.

    • Học tốt bài này sẽ giúp các em vững vàng khi giải các dạng bài xác suất trong đề thi THPT Quốc gia cũng như các bài thực tiễn liên quan.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".