Tổng, hiệu và tích của hằng số với hàm số – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu

Trong chương trình Toán lớp 12, khái niệm tổng, hiệu và tích của hằng số với hàm số là nền tảng quan trọng giúp học sinh nắm vững cách biến đổi đồ thị hàm số và giải quyết các bài toán liên quan đến sự dịch chuyển, giãn nở và phản chiếu của đồ thị. Việc hiểu rõ các phép biến đổi này không chỉ hỗ trợ trong việc vẽ nhanh đồ thị, mà còn là tiền đề để vận dụng trong giải tích (ví dụ tính đạo hàm, tích phân các hàm số đã biến đổi) cũng như các ứng dụng thực tế như mô hình hóa kinh tế, vật lý.

2. Định nghĩa chính xác

Cho một hàm số $f(x)$xác định trên tập$D$và một hằng số thực$k$. Ta định nghĩa:
• Tổng của hàm số $f$và hằng số $k$là hàm số $g$cho bởi$g(x)=f(x)+k",<br />• Hiệu của hàm số$f$và hằng số$k$là hàm số$h$cho bởi$h(x)=f(x)-k",
• Tích của hằng số $k$với hàm số $f$là hàm số $p$cho bởi

D$k$vào hàm số gốc$f(x)$, đồ thị của hàm$y=f(x)$dịch chuyển thẳng đứng theo chiều dương nếu$k>0$, và theo chiều âm nếu$k<0$. Cụ thể, hàm mới là $g(x)=f(x)+k$Ví dụ: Cho$f(x)=x^2<br />t<br />en khi đó<br />$g(x)=f(x)+3=x^2+3$Đồ thị của$y=x^2+3$là đồ thị của$y=x^2$dịch lên 3 đơn vị. Tập xác định:$

domain(g)=
Reals$; Tập giá trị:$y
ga3$; Đỉnh đồ thị:$(0,3)" data-math-type="inline"> undefined

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1. Tổng của hàm số và hằng số

Khi cộng một hằng số $k$vào hàm số gốc$f(x)$, đồ thị của hàm$y=f(x)$dịch chuyển thẳng đứng theo chiều dương nếu$k>0$, và theo chiều âm nếu$k<0$. Cụ thể, hàm mới là $g(x)=f(x)+k$Ví dụ: Cho$f(x)=x^2<br />t<br />en khi đó<br />$g(x)=f(x)+3=x^2+3$Đồ thị của$y=x^2+3$là đồ thị của$y=x^2$dịch lên 3 đơn vị. Tập xác định:$

domain(g)=
Reals$; Tập giá trị:$y
ga3$; Đỉnh đồ thị:$(0,3)$ .

3.2. Hiệu của hàm số và hằng số

Phép trừ hằng số tương tự phép cộng nhưng đồ thị dịch theo chiều ngược lại. Cho$h(x)=f(x)-k$Ví dụ: Với$f(x)=

sin x
en khi đó
$h(x)=<br />sin x-\frac{\pi}{2}$Đồ thị $y=\sin x-\frac{\pi}{2}$là đồ thị $y=\sin x$dịch xuống$\frac{\pi}{2}$ đơn vị. Tập xác định:$\mathbb{R}$; Tập giá trị: $[-1-\frac{\pi}{2},1-\frac{\pi}{2}]$.

3.3. Tích của hằng số với hàm số

Khi nhân một hằng số $k$với hàm số $f(x)$, đồ thị có thể giãn hoặc co theo phương thẳng đứng, hoặc phản chiếu qua trục$x$nếu$k<0$. Hàm mới là $p(x)=k\,f(x)$

Trường hợp chung:

• Nếu$|k|>1$, đồ thị giãn ra (kéo cao hơn).⁤
• Nếu$0<|k|<1$, đồ thị co lại (nén gần trục$x$).⁤
• Nếu$k<0$, thêm phản chiếu qua trục$x$.

Ví dụ: Cho$f(x)=e^x$

– Với$k=2$:$p(x)=2e^x$giãn đồ thị lên gấp đôi; Tập xác định$\mathbb{R}$, Tập giá trị $(0,\infty)$.
– Với$k=-1$:$q(x)=-e^x$phản chiếu đồ thị của$e^x$qua trục$x$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Với$k=0$trong tích:$p(x)=0 \cdot f(x)=0$cho hàm không đổi bằng 0.
• Với$k=1$trong tích:$p(x)=1 \cdot f(x)=f(x)$không thay đổi.
• Với$k=-1$trong tích: hàm thành$p(x)=-f(x)$chỉ phản chiếu qua trục$x$.
• Khi kết hợp nhiều biến đổi (ví dụ $y=-2f(x)+3$), phải thực hiện thứ tự: nhân trước, sau đó cộng/trừ hằng số.
• Luôn kiểm tra lại tập xác định và tập giá trị sau khi biến đổi.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Trong giải tích, tính chất tuyến tính:$(f+k)'=f',\quad(f-k)'=f',\quad(kf)'=kf'.$
• Khi tính tích phân,$\int(f(x)+k)dx=\int f(x)dx+kx+C,\quad\int kf(x)dx=k\int f(x)dx+C.$
• Kỹ năng biến đổi hàm số hỗ trợ giải phương trình và bất phương trình chứa tham số, cũng như vẽ nhanh đồ thị để khảo sát hàm.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$f(x)=x^2.$Viết hàm$g(x)=f(x)+4$và xác định tập xác định, tập giá trị, đỉnh của đồ thị.
Lời giải:$g(x)=x^2+4.$Tập xác định:$\mathbb{R}.$Tập giá trị:$[4,\infty).$Đỉnh đồ thị:$(0,4).$

Bài 2: Cho $f(x)=\sin x. Xác định hàm$h(x)=f(x)-\frac{\pi}{2}$và mô tả sự dịch chuyển của đồ thị. <br />Lời giải: h(x)=\sin x-\frac{\pi}{2}$là đồ thị của$\sin x$dịch xuống$\frac{\pi}{2}$ đơn vị; Tập xác định:$\mathbb{R}$; Tập giá trị: $[-1-\frac{\pi}{2},1-\frac{\pi}{2}].$

Bài 3: Cho$f(x)=e^x$và $p(x)=2f(x).$Tính tập xác định, tập giá trị và mô tả giãn đồ thị.
Lời giải:$p(x)=2e^x.$Tập xác định:$\mathbb{R}$; Tập giá trị:$(0,\infty)$; Đồ thị của$e^x$giãn dọc lên gấp đôi.

Bài 4: Cho$f(x)=x^3-x$. Xác định hàm$g(x)=-f(x)+2$và viết dưới dạng biểu thức.
Lời giải:$g(x)=-f(x)+2=-(x^3-x)+2=-x^3+x+2.$Tập xác định:$\mathbb{R}.$Đồ thị: phản chiếu qua trục$x$, sau đó dịch lên 2 đơn vị.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn phép cộng/trừ hằng số với phép cộng/trừ đối với biến (ví dụ $f(x+2) \neq f(x)+2$).
• Quên kiểm tra tập xác định sau khi biến đổi (đặc biệt với hàm chứa mẫu thức hoặc căn bậc hai).
• Sai thứ tự khi kết hợp nhân và cộng hằng số (phải nhân trước, cộng sau).
• Không cập nhật tập giá trị mới của hàm sau khi biến đổi.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tổng và hiệu hằng số dịch đồ thị thẳng đứng.
• Tích với hằng số giãn, co hoặc phản chiếu đồ thị theo trục$x$.
• Khi kết hợp nhiều phép biến đổi, thực hiện thứ tự: nhân (tích) → cộng/trừ.
• Ứng dụng tính tuyến tính trong đạo hàm, tích phân và giải phương trình tham số.
• Luôn kiểm tra tập xác định và tập giá trị sau mỗi biến đổi để tránh sai sót.