Tổng và hiệu của hai vectơ: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của tổng và hiệu của hai vectơ

Trong chương trình Toán lớp 12 – đặc biệt ở chủ đề Hình học và các ứng dụng trong không gian – vectơ đóng vai trò then chốt trong việc mô tả vị trí, chuyển động và quan hệ giữa các điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Phép toán tổng và hiệu của hai vectơ là nền tảng của nhiều bài toán giải tích không gian, vật lý và kỹ thuật. Hiểu sâu về phép toán này giúp học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập và tăng khả năng tư duy toán học.

2. Định nghĩa chính xác về tổng và hiệu của hai vectơ

a) Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$. Tổng của hai vectơ, ký hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$, là một vectơ được xác định như sau:

• Trên mặt phẳng, từ điểm đầu$A$của$\vec{a}$, vẽ $\vec{a}$ đến điểm$B$; sau đó từ $B$vẽ $\vec{b}$(giữ nguyên độ dài và hướng). Tổng$\vec{a} + \vec{b}$là vectơ từ điểm đầu$A$của$\vec{a}$ đến điểm cuối$C$của$\vec{b}$vừa vẽ.
• Trên hệ trục tọa độ, nếu$\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$thì $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)$.

b) Hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$. Hiệu của hai vectơ, ký hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$, là vectơ được xác định bởi:

• Ta có $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, trong đó $-\vec{b}$là vectơ đối của$\vec{b}$(cùng độ dài, ngược hướng).
• Trên hệ trục tọa độ:$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Ví dụ về tổng hai vectơ trên mặt phẳng:

Cho$\vec{a}$có điểm đầu$A(0, 0)$và điểm cuối$B(2, 1)$,$\vec{b}$có điểm đầu$B(2, 1)$và điểm cuối$C(5, 3)$. Hãy xác định$\vec{a} + \vec{b}$.

Giải:$\vec{a} = (2, 1)$; từ B vẽ $\vec{b} = (3, 2)$. Vectơ $\vec{a} + \vec{b} = (2+3, 1+2) = (5, 3)$. Vậy tổng$\vec{a} + \vec{b}$là vectơ từ $A(0, 0)$ đến$C(5, 3)$.

b) Ví dụ về hiệu hai vectơ:

Cho$\vec{a} = (4, 5)$và $\vec{b} = (1, 2)$. Tính$\vec{a} - \vec{b}$.

Giải:$\vec{a} - \vec{b} = (4 - 1, 5 - 2) = (3, 3)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hai vectơ cùng phương, tổng của chúng cũng cùng phương và có độ lớn bằng tổng độ lớn.
• Hiệu hai vectơ có thể bằng vectơ-không$\vec{0}$nếu hai vectơ bằng nhau.
• Nếu$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$và $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$thì $\vec{a}+\vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$. Luôn cộng tương ứng từng thành phần.
• Để tính hiệu, nhớ đổi dấu từng thành phần của$\vec{b}$rồi cộng với$\vec{a}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tổng và hiệu vectơ liên quan tới các phép toán khác như tích vô hướng (tích vô hướng dựa trên tổng các thành phần), tích có hướng, phép nhân vectơ với số thực,... Chúng cũng là cơ sở để xác định di chuyển, biến đổi hình học không gian hoặc mô tả lực trong vật lý.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{a} = (1, -2, 3)$,$\vec{b} = (4, 0, -1)$. Tính$\vec{a} + \vec{b}$và $\vec{a} - \vec{b}$.

Lời giải:

• $\vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, -2 + 0, 3 + (-1)) = (5, -2, 2)$
• $\vec{a} - \vec{b} = (1 - 4, -2 - 0, 3 - (-1)) = (-3, -2, 4)$

Bài tập 2: Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm$A(1,1)$,$B(3,3)$,$C(4,5)$. Tính$\vec{AB} + \vec{BC}$.

Lời giải:

• $\vec{AB} = (3-1, 3-1) = (2,2)$
• $\vec{BC} = (4-3, 5-3) = (1,2)$
• $\vec{AB} + \vec{BC} = (2+1, 2+2) = (3,4)$, là vectơ từ $A(1,1)$ đến$C(4,5)$.

Bài tập 3: Cho$\vec{u} = (-2, 4)$,$\vec{v} = (1, -3)$. Tìm vectơ đối của mỗi vectơ và tính$\vec{u} - \vec{v}$.

• Vectơ đối:$-\vec{u} = (2, -4)$;$-\vec{v} = (-1, 3)$
• $\vec{u} - \vec{v} = (-2 - 1, 4 - (-3)) = (-3, 7)$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Cộng, trừ sai thành phần tọa độ (quên đổi dấu hoặc cộng nhầm chỉ số). Luôn đối chiếu với công thức để kiểm tra.
• Nhầm lẫn giữa tổng và hiệu khi sử dụng trong hình học hoặc vẽ hình trên giấy. Hãy phác họa quá trình nối các vectơ theo đúng thứ tự.
• Quên khái niệm vectơ đối khi tính hiệu. Đảm bảo đã xác định đúng chiều và độ lớn khi lấy vectơ ngược hướng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tổng hai vectơ là phép cộng từng thành phần tương ứng hoặc vẽ hình theo quy tắc hình bình hành/quy tắc ba điểm.
• Hiệu hai vectơ chính là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai.
• Luôn chú ý tới thứ tự và hướng của các vectơ khi thực hiện phép cộng/trừ.
• Vận dụng thành thạo phép toán tổng, hiệu vectơ sẽ hỗ trợ tốt trong các bài toán hình học không gian, vật lý, giải tích không gian,...

Nắm vững phép tổng và hiệu vectơ là nền tảng quan trọng giúp học sinh lớp 12 tự tin giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán học phổ thông cũng như trong kỳ thi THPT Quốc gia.