Tổng và hiệu của hai vectơ: Khái niệm, cách tính và bài tập chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm tổng và hiệu của hai vectơ

Trong chương trình toán lớp 12, vectơ là công cụ vô cùng quan trọng không chỉ trong hình học không gian mà còn trong các bài toán đại số và vật lý. Việc hiểu rõ các phép toán cơ bản như tổng và hiệu của hai vectơ sẽ giúp học sinh giải các bài toán về tọa độ, chuyển động, lực, hay các ứng dụng thực tế khác. Đây cũng là kiến thức nền tảng để học tốt các chương tiếp theo và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ

- Tổng của hai vectơ là một vectơ biểu thị kết quả khi “cộng” hai vectơ theo quy tắc hình học hoặc đại số.
- Hiệu của hai vectơ là một vectơ biểu thị kết quả khi “trừ” một vectơ cho một vectơ khác theo quy tắc tương ứng.

Cụ thể:

• a) Tổng hai vectơ $extbf{a}$và $extbf{b}$là một vectơ ký hiệu$extbf{a} + extbf{b}$sao cho:
  
  $extbf{a} + extbf{b} = extbf{c}$
  
  Trong đó,$extbf{c}$là vectơ đi từ gốc của$extbf{a}$ đến đầu mút của$extbf{b}$khi dịch chuyển$extbf{b}$sao cho gốc$extbf{b}$trùng đầu$extbf{a}$(quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc “đầu – đuôi”).

• b) Hiệu hai vectơ $extbf{a}$và $extbf{b}$là vectơ $extbf{a} - extbf{b}$thỏa mãn:
  
  $extbf{a} - extbf{b} = extbf{a} + (-extbf{b})$
  
  Tức là, hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất và vectơ đối của vectơ thứ hai.

3. Phép cộng và trừ hai vectơ – Hướng dẫn từng bước và ví dụ minh họa

a) Quy tắc hình học

• - Quy tắc “đầu – đuôi”: Để cộng hai vectơ $extbf{a}$và $extbf{b}$, đặt gốc của vectơ $extbf{b}$trùng với đầu vectơ $extbf{a}$. Vectơ $extbf{a} + extbf{b}$là vectơ đi từ gốc của$extbf{a}$ đến đầu của$extbf{b}$.

• - Quy tắc hình bình hành: Đặt hai vectơ $extbf{a}$và $extbf{b}$có chung gốc. Vectơ tổng là đường chéo của hình bình hành được tạo bởi hai vectơ này.

Ví dụ minh họa:
Cho hai vectơ $extbf{a}$và $extbf{b}$cùng bắt đầu tại điểm$O$. Từ $O$, vẽ $extbf{a}$ đến điểm$A$, từ $O$vẽ $extbf{b}$ đến điểm$B$. Vẽ hai đường song song với hai vectơ đó lần lượt, tạo thành hình bình hành$OACB$. Vectơ $extbf{a} + extbf{b}$chính là đường chéo$OC$.

b) Quy tắc tọa độ (đại số)

Cho$extbf{a} = (a_1; a_2; a_3)$và $extbf{b} = (b_1; b_2; b_3)$thì:

- Tổng hai vectơ:$extbf{a} + extbf{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)$
- Hiệu hai vectơ:$extbf{a} - extbf{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)$

Ví dụ minh họa:

Cho$extbf{a} = (1;2;3)$và $extbf{b} = (3;2;1)$.

-$extbf{a} + extbf{b} = (1+3; 2+2; 3+1) = (4; 4; 4)$
-$extbf{a} - extbf{b} = (1-3; 2-2; 3-1) = (-2; 0; 2)$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• - Nếu hai vectơ cùng phương ($extbf{a} = kextbf{b}$với$k$thực), tổng của chúng cũng cùng phương đó.

• - Nếu hai vectơ ngược hướng, tổng của chúng là một vectơ có độ lớn bằng hiệu độ lớn hai vectơ, hướng theo vectơ lớn hơn.

• - Nếu hai vectơ vuông góc, tổng tạo thành cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh là hai vectơ ban đầu.

• - Lưu ý: Khi cộng hai vectơ bằng quy tắc hình học phải bảo toàn hướng và độ lớn của vectơ (vectơ giữ nguyên khi dịch song song).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tổng và hiệu của vectơ liên quan chặt chẽ đến các khái niệm:
- Tích vô hướng (tích chấm), tích có hướng (tích vector), giúp xác định góc giữa hai vectơ, diện tích, thể tích.
- Định lý hình bình hành, hình hộp và các phép chuyển động trong hình học giải tích.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$extbf{a} = (1; -2; 3)$,$extbf{b} = (-4; 5; 0)$. Tính$extbf{a} + extbf{b}$và $extbf{a} - extbf{b}$.

Giải:
-$extbf{a} + extbf{b} = (1 + (-4); -2 + 5; 3 + 0) = (-3; 3; 3)$
-$extbf{a} - extbf{b} = (1-(-4); -2-5; 3-0) = (5; -7; 3)$

Bài 2: Cho ba điểm$A(1;2;3)$,$B(3;4;5)$,$C(-1;1;2)$. Tìm tọa độ vectơ $extbf{AB} + extbf{BC}$.

Giải:
-$extbf{AB} = (3-1; 4-2; 5-3) = (2;2;2)$
-$extbf{BC} = (-1-3; 1-4; 2-5) = (-4; -3; -3)$
-$extbf{AB} + extbf{BC} = (2 + (-4); 2 + (-3); 2 + (-3)) = (-2; -1; -1)$

Bài 3: Cho hai vectơ $extbf{a}$và $extbf{b}$vuông góc,$|extbf{a}| = 3$,$|extbf{b}| = 4$. Tính độ dài của vectơ $extbf{a}+extbf{b}$.

Giải:
Vì hai vectơ vuông góc:

$|extbf{a} + extbf{b}| = \sqrt{|extbf{a}|^2 + |extbf{b}|^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Nhầm thứ tự khi cộng/trừ: Nên diễn giải bằng biểu thức hoặc quy tắc đầu-đuôi.

• - Nhầm hướng khi lấy hiệu: Cẩn thận với vectơ đối, nhớ rằng$-extbf{b}$ngược hướng với$extbf{b}$.

• - Nhầm lẫn giữa phép cộng vectơ với cộng các tọa độ giữa điểm và vectơ. Phân biệt rõ khi tính.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Tổng và hiệu hai vectơ được xác định bằng biểu thức hình học và đại số.

• - Sử dụng thành thạo các quy tắc cộng, trừ cả trên hình học và tọa độ.

• - Hiểu rõ ý nghĩa hình học và vận dụng vào các bài toán thực tế, các bài toán phức tạp hơn.

• - Tránh các lỗi về dấu và thứ tự khi thực hiện phép toán.

Nắm vững kiến thức về tổng và hiệu hai vectơ sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các dạng bài tập về vectơ trong chương trình lớp 12 cũng như ứng dụng trong các bài tập về hình học giải tích không gian.