Tổng và hiệu của hai vectơ – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12
T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc
1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng
Trong hình học nói chung và hình học không gian lớp 12 nói riêng, vectơ đóng vai trò vô cùng quan trọng giúp mô tả các đại lượng có hướng như lực, vận tốc, chuyển động, v.v. Tổng và hiệu của hai vectơ là hai phép toán cơ bản nhất và xuất hiện thường xuyên trong các bài toán từ hình học phẳng tới hình học không gian, cũng như các ứng dụng thực tế trong vật lý, kỹ thuật… Việc nắm vững hai phép toán này là nền tảng giúp học sinh giải tốt những chủ đề liên quan tới vectơ, tọa độ không gian, chuyển động và nhiều bài toán ứng dụng thực tiễn.
2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng
Cho hai vectơ avà b.Tổng của hai vectơ là một vectơ ký hiệu là a+b, còn hiệu là a−b.
Tổng hai vectơ a+b: Là vectơ có điểm đầu trùng với điểm đầu của a, và điểm cuối là điểm cuối của khi "đặt nối tiếp" avà b.
Hiệu hai vectơ a−b: Được định nghĩa là tổng a+(−b), tức là cộng avới vectơ đối củab.
3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa
Giả sử ta có hai vectơ avà b trong không gian phẳng:
Nếu điểm đầu của btrùng với điểm cuối củaa, thì tổng a+blà vectơ bắt đầu từ điểm đầu củaa đến điểm cuối củab. Đây được gọi là quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc hình "mũi tên nối tiếp".
Quy tắc hình bình hành:Vẽ hai vectơ avà b xuất phát từ cùng một điểm. Hai vectơ này tạo thành hai cạnh kề của một hình bình hành. Tổng là đường chéo xuất phát từ điểm đó.
Ví dụ: Cho a=(2;3), b=(1;−1). Khi đó:
Tổng: a+b=(2+1;3+(−1))=(3;2).
Hiệu: a−b=(2−1;3−(−1))=(1;4).
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
Khi hai vectơ cùng phương hoặc ngược hướng, tổng trừ các toạ độ bình thường, nhưng hướng của kết quả cần lưu ý.
Phép cộng và phép trừ hai vectơ không thay đổi khi quy các vectơ về cùng điểm đầu (tính tự do của vectơ trong không gian thuần tuý).
Phép cộng vectơ có tính giao hoán: a+b=b+a.
Với phép cộng dãy ba vectơ trở lên, áp dụng tính kết hợp: (a+b)+c=a+(b+c).
Hiệu hai vectơ là phép cộng với vectơ đối: a−b=a+(−b).
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
Phép cộng và trừ vectơ là nền tảng để thực hiện các phép toán khác như tích vô hướng, tích có hướng, các phép biến đổi hình học (dời hình, đối xứng, tịnh tiến), cũng như giải các bài toán về tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian…
Phép cộng tích vô hướng: Dựa vào toạ độ, bạn tính được a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3 sau khi đã cộng/trừ vectơ.
Giải bài toán về hình học không gian (xác định giao tuyến, kiểm tra thẳng hàng, đồng phẳng, song song...) đều cần vận dụng linh hoạt tổng và hiệu vectơ.
6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài 1: Cho a=(1;2;3),b=(2;−1;0). Hãy tính:
(a) a+b
(b) a−b
Lời giải:
a) a+b=(1+2;2+(−1);3+0)=(3;1;3)
b) a−b=(1−2;2−(−1);3−0)=(−1;3;3)
Bài 2: Cho điểm A(1,2), B(4,5), C(6,8). Tính AB+BC và nhận xét.
Lời giải: AB=(4−1;5−2)=(3;3) BC=(6−4;8−5)=(2;3) AB+BC=(3+2;3+3)=(5;6) AC=(6−1;8−2)=(5;6) Nhận xét: AB+BC=AC (tính chất cộng vectơ theo đường gãy khúc).
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
Nhầm dấu khi trừ toạ độ (đặc biệt là số âm). Nên viết rõ từng bước phép trừ.
Quên định nghĩa vectơ đối khi thực hiện phép trừ.
Làm phép toán khi các vectơ chưa cùng điểm đầu (trong lý thuyết hình học phẳng). Nên viết lại hoặc vẽ hình minh họa.
Nhớ kiểm tra lại vị trí điểm đầu và điểm cuối khi tính tổng hiệu trên hình vẽ.
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
Tổng hai vectơ = quy tắc hình bình hành hoặc "nối tiếp" (động học); hiệu hai vectơ = cộng với vectơ đối.
Khi thao tác trên toạ độ: Cộng/trừ từng thành phần tương ứng của các vectơ.
Hiểu ý nghĩa hình học của phép toán hỗ trợ giải hình không gian, bài toán vector.
Luyện tập nhiều sẽ giúp tránh lỗi và nhớ lâu công thức.
Đăng ký danh sách email của chúng tôi và nhận những mẹo độc quyền, tin tức và ưu đãi đặc biệt được gửi thẳng đến hộp thư đến của bạn.
Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".
Theo dõi chúng tôi tại