Tổng và hiệu của hai vectơ: Lý thuyết, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng và hiệu của hai vectơ là những phép toán cơ bản và quan trọng trong chương trình hình học lớp 12. Nắm vững khái niệm này là nền tảng để học sinh giải quyết các bài toán về vectơ, phân tích lực trong vật lý, cũng như hiểu sâu hơn về tọa độ trong không gian. Ngoài ra, hiểu rõ cách cộng và trừ vectơ còn là bước đệm cho nhiều chủ đề nâng cao hơn như tích vô hướng, tích có hướng, giải hệ phương trình với nhiều ẩn số.

2. Định nghĩa chính xác tổng và hiệu của hai vectơ

Giả sử hai vectơ$\vec{a}$và$\vec{b}$nằm trong không gian.

• Tổng của hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$là một vectơ ký hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$, được xác định như sau:

“Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$có chung điểm đầu, tổng$\vec{a} + \vec{b}$là vectơ có điểm đầu là điểm đầu của$\vec{a}$và điểm cuối là điểm cuối của$\vec{b}$khi đặt đuôi$\vec{b}$trùng với đầu$\vec{a}$(quy tắc hình bình hành).”

• Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$là một vectơ ký hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$và được định nghĩa là:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Tức là, hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh hoạ

Giả sử $\vec{a} = (2;3)$và $\vec{b} = (1;-2)$. Ta có thể tìm tổng và hiệu theo từng bước:

• Tính tổng:

\vec{a} + \vec{b} = (2; 3) + (1; -2) = (2+1; 3+(-2)) = (3; 1)

• Tính hiệu:

\vec{a} - \vec{b} = (2; 3) - (1; -2) = (2-1; 3-(-2)) = (1; 5)

Như vậy:$\vec{a} + \vec{b} = (3;1)$,$\vec{a} - \vec{b} = (1;5)$

Giải thích: Khi cộng (hoặc trừ) hai vectơ, ta cộng (hoặc trừ) tương ứng từng thành phần của chúng với nhau.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu hai vectơ cùng phương, tổng của chúng cũng là một vectơ cùng phương, có độ dài bằng tổng (hoặc hiệu nếu ngược hướng) độ dài hai vectơ.

- Vectơ không có điểm đầu cố định: có thể dịch chuyển để thực hiện phép cộng/trừ (theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm).

- Khi ký hiệu tổng hoặc hiệu vectơ theo tọa độ trong không gian (Oxyz):$\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$,$\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$. Khi đó:

\vec{a} + \vec{b} =$(a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)$\vec{a} - \vec{b} =$(a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)$

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép cộng và trừ vectơ là cơ sở của hình học giải tích không gian, lượng giác, giải tích vectơ và vật lý (tính tổng hợp lực, vận tốc, ...). Ngoài ra, kiến thức về phép cộng, trừ vectơ còn liên quan đến các phép toán như tích vô hướng, tích có hướng, phép biến đổi tọa độ.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài tập 1: Cho$\vec{a} = (1;2;3)$,$\vec{b} = (2;-1;0)$. Tính$\vec{a} + \vec{b}$và $\vec{a} - \vec{b}$.

Lời giải:

\vec{a} + \vec{b} = (1+2; 2 + (-1); 3 + 0) = (3; 1; 3) \vec{a} - \vec{b} = (1-2; 2-(-1); 3-0) = (-1;3;3)

- Bài tập 2: Cho$\vec{u} = (0;1)$và $\vec{v} = (4;-5)$. Tìm$\vec{u} + \vec{v}$,$\vec{u} - \vec{v}$và vẽ hình minh hoạ phép cộng hai vectơ này.

Lời giải:

\vec{u} + \vec{v} = (0+4; 1+(-5)) = (4; -4) \vec{u} - \vec{v} = (0-4; 1-(-5)) = (-4; 6)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Cách tránh: Luôn kiểm tra lại từng bước, làm các phép toán chậm rãi, xác định rõ quy tắc cộng/trừ theo tọa độ, kết hợp với hình minh họa khi có thể.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tổng và hiệu hai vectơ là phép toán cơ bản trong chương trình toán lớp 12.

- Khi cộng/trừ vectơ, cần cộng/trừ từng thành phần tương ứng.

- Biết sử dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc ba điểm để hình dung hình học.

- Cẩn thận với dấu và thứ tự khi thực hiện các phép toán.

- Kiến thức này là nền tảng để học các chủ đề nâng cao và ứng dụng thực tế.