Blog

Ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu: Giải thích chi tiết dành cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu

Trong chương trình Toán học lớp 12, một trong những kiến thức trọng tâm và có ứng dụng thực tiễn rất lớn là việc tìm cực trị và áp dụng vào giải các bài toán tối ưu. Việc này không chỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, lập luận mà còn đưa ra các phương pháp giải quyết các vấn đề hóc búa trong thực tế: như bài toán tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một hàm số, tối đa hóa lợi nhuận, tối ưu hóa chi phí, thiết kế hình học, v.v. Vì vậy, đây là chủ đề vô cùng quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong các kỳ thi THPT Quốc gia và ứng dụng vào cuộc sống.

2. Định nghĩa chính xác về cực trị và bài toán tối ưu

- Cực trị của hàm số là các giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) có thể đạt được trong một khoảng nào đó hoặc trên toàn bộ tập xác định của hàm số.

- Bài toán tối ưu là các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng nào đó (thường là một hàm số) khi các đại lượng liên quan phải thỏa mãn một điều kiện nào đó.

- Ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu: Là vận dụng các kiến thức về tìm cực trị hàm số (thường bằng đạo hàm) để giải các bài toán thực tế/tổng quát hóa nhằm tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất theo yêu cầu.

3. Các bước giải bài toán tối ưu bằng ứng dụng cực trị

Để giải một bài toán tối ưu bằng cực trị hàm số, học sinh thường thực hiện các bước cơ bản như sau:

  • Bước 1: Đặt các biến đại diện cho các đại lượng trong bài toán.
  • Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa các biến theo điều kiện bài toán.
  • Bước 3: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành một hàm số một biến.
  • Bước 4: Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 5: Tìm các điểm cực trị (dùng đạo hàm).
  • Bước 6: So sánh giá trị tại các điểm cực trị với các giá trị tại biên (nếu có) để chọn giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

4. Ví dụ minh họa từng bước giải bài toán tối ưu

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Hãy xác định kích thước của hình chữ nhật để diện tích lớn nhất.

  • Bước 1: Gọi chiều dài là xx, chiều rộng là yy(x,y>0x, y > 0).
  • Bước 2: Theo đề bài,2x+2y=202x + 2y = 20, nênx+y=10y=10xx + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x.
  • Bước 3: Diện tíchS=xy=x(10x)=10xx2S = x \, y = x(10 - x) = 10x - x^2.
  • Bước 4: Tập xác định:0<x<100 < x < 10.
  • Bước 5: Tìm cực trị:S(x)=102x=0x=5S'(x) = 10 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 5.
  • Bước 6: Kiểm tra giá trị tạix=5x = 5,x0x \to 0,x10x \to 10:S(5)=25S(5) = 25,S(0)=S(10)=0S(0) = S(10) = 0. Lớn nhất tạix=5x = 5,y=5y = 5. Vậy hình vuông là hình cho diện tích lớn nhất.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=2x33x2+4f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4trên đoạn[0;2][0;2].

  • f(x)=6x26xf'(x) = 6x^2 - 6x;f(x)=0x(x1)=0x=0;x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x = 0; x = 1. Các điểm cần xét là x=0,1,2x=0, 1, 2.
  • f(0)=4;f(1)=3;f(2)=2834+4=1612+4=8f(0) = 4; f(1) = 3; f(2) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8.
  • Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 88tạix=2x = 2.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu bài toán xét trên khoảng đóng[a,b][a, b], ngoài các điểm cực trị bên trong khoảng còn phải xét cả giá trị tại hai đầu mútaabb.
  • Nếu hàm không liên tục/tồn tại trên toàn tập xác định, cần xác định rõ tập xác định và loại bỏ điểm không xác định.
  • Sau khi tìm các điểm nghi ngờ là cực trị, cần kiểm tra kỹ giá trị của hàm tại đó (không chỉ dừng lại ở việc tìm nghiệm đạo hàm).

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều khái niệm khác trong toán học, bao gồm:

  • Đạo hàm: Công cụ chính để xác định điểm cực trị.
  • Bảng biến thiên: Giúp theo dõi tính đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu.
  • Hàm số liên tục: Đảm bảo bài toán tối ưu có nghiệm trên khoảng đóng.
  • Kiến thức về giới hạn, tính liên tục cũng rất cần thiết khi làm việc với các hàm phức tạp hơn.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác có chu vi1212cm, hãy tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

  1. Giả sử tam giác là tam giác đều cạnhxx. Có 3x=12x=43x = 12 \Rightarrow x = 4.
  2. Diện tích tam giác đều là S=34x2=34×16=43S = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\times 16 = 4\sqrt{3}.
  3. Vậy diện tích lớn nhất là 434\sqrt{3} cm2^2, đạt khi là tam giác đều.

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất củay=x24x+5y = x^2 - 4x + 5trên đoạn[0;3][0;3].

  1. y(x)=2x4=0x=2y'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.
  2. Giá trị tạix=0x=0:y=5y=5; tạix=3x=3:y=912+5=2y=9-12+5=2; tạix=2x=2:y=48+5=1y=4-8+5=1.
  3. Giá trị nhỏ nhất là 11tạix=2x=2.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Bỏ sót giá trị tại biên khi tìm cực trị trên đoạn.
  • Không xác định đúng tập xác định của hàm số.
  • Không thử hết các trường hợp khả dĩ với biến liên quan.
  • Nhầm lẫn giữa giá trị lớn nhất và điểm cực đại (và ngược lại).

9. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

  • Ứng dụng cực trị trong bài toán tối ưu là một kỹ năng then chốt trong Toán 12 và các kỳ thi THPT Quốc gia.
  • Luôn tuân theo các bước giải: đặt biến, lập hàm mục tiêu, tìm tập xác định, xét đạo hàm, so sánh các giá trị tại điểm cực trị và các biên.
  • Nhớ kiểm tra tính liên tục, xác định rõ vùng giá trị của biến.
  • Dùng bảng biến thiên kiểm tra kiểu cực trị rõ ràng.
  • Sau khi chọn giá trị tối ưu, nhớ đối chiếu lại bài toán để đảm bảo tất cả điều kiện được thỏa mãn.

Với những kiến thức cơ bản và các lưu ý trên, việc giải các bài toán tối ưu bằng ứng dụng cực trị sẽ trở nên dễ dàng, hiệu quả và chính xác hơn đối với học sinh lớp 12.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".