Blog

Lớp 12

Ứng dụng định nghĩa tích phân trong bài toán vận tốc - quãng đường

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, ứng dụng định nghĩa tích phân vào bài toán vận tốc – quãng đường là một trong những nội dung trọng tâm của chương IV – Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Khái niệm này không chỉ quan trọng trong việc học tập, mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn như đo quãng đường di chuyển của vật chuyển động, tính toán trong vật lý, kỹ thuật, và nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác. Việc hiểu và vận dụng định nghĩa tích phân giúp học sinh giải quyết chính xác các bài toán liên quan đến chuyển động, rèn luyện tư duy logic, khả năng lập luận và kỹ năng giải quyết vấn đề.

2. Định nghĩa chính xác khái niệm

Giả sử một vật chuyển động dọc theo trụcOxOx, vận tốc tại thời điểmttlà hàm số v(t)v(t). Tổng quãng đường vật đi được từ thời điểmt1t_1 đếnt2t_2 được xác định bởi tích phân:

S=∫t1t2∣v(t)∣dtS = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|dt

Nếu vận tốc luôn không âm (hoặc không âm trên từng đoạn), quãng đường đúng bằng độ biến thiên của vị trí:

Δx=x(t2)−x(t1)=∫t1t2v(t)dt\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)dt

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định hàm vận tốcv(t)v(t)và khoảng thời gian chuyển động[t1;t2][t_1; t_2].

Bước 2: Kiểm tra dấu của vận tốc trên toàn khoảng. Nếuv(t)≥0v(t) \geq 0hoặcv(t)≤0v(t) \leq 0trên toàn đoạn, quãng đường bằng tích phân củav(t)v(t). Nếu không, cần tìm các điểm vận tốc đổi dấu và chia khoảng theo từng đoạn vận tốc cùng dấu.

Bước 3: Tính tích phân∫t1t2∣v(t)∣dt\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|dt để có quãng đường.

Ví dụ minh họa:

Cho vận tốcv(t)=2t−4v(t) = 2t - 4(đơn vị: m/s),tttính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từ t=0t = 0 đếnt=5t = 5.

Giải từng bước:

  • Xétv(t)=2t−4=0⇒t0=2v(t) = 2t - 4 = 0 \Rightarrow t_0 = 2. Vậy vận tốc đổi dấu tạit=2t=2.
  • Chia khoảng thành[0;2][0;2],[2;5][2;5]:
  • Trên[0;2][0;2]:v(t)≤0v(t) \leq 0, trên[2;5][2;5]:v(t)≥0v(t) \geq 0.
  • Tính:
  • S=∫02−(2t−4)dt+∫25(2t−4)dtS = \int_{0}^{2} -(2t-4)dt + \int_{2}^{5} (2t-4)dt
  • Tính từng đoạn:
  • ∫02(4−2t)dt=[4t−t2]02=(8−4)−(0−0)=4\int_{0}^{2} (4-2t)dt = [4t - t^2]_{0}^{2} = (8-4)-(0-0)=4(mét)
  • ∫25(2t−4)dt=[t2−4t]25=(25−20)−(4−8)=(5)−(−4)=9\int_{2}^{5} (2t-4)dt = [t^2-4t]_{2}^{5} = (25-20) - (4-8) = (5)-(-4)=9(mét)
  • Vậy tổng quãng đường:S=4+9=13S = 4 + 9 = 13(mét)

    • 4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

    - Nếu vận tốc luôn dương (hoặc luôn âm), quãng đường bằng độ biến thiên chuyển động:S=Δx=∫t1t2v(t)dtS = \Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t)dt
    - Nếu vận tốc đổi dấu, phải chia các khoảng vận tốc cùng dấu, lấy giá trị tuyệt đối tương ứng.
    - Cần chú ý đơn vị của các đại lượng (vvlà m/s,ttlà s, nênSSlà mét).

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Khái niệm này liên hệ chặt chẽ với nguyên hàm, vì tích phân xác định∫abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x)dxchính là độ biến thiên của một nguyên hàm củaf(x)f(x)qua định lý Newton-Leibniz:

    ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)
    trong đó F(x)F(x)là nguyên hàm củaf(x)f(x).
    Đồng thời, đây cũng là ứng dụng hàm liên tục, tính chất hàm số, và lý thuyết chuyển động trong vật lý.

    6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Cho vận tốcv(t)=6−t2v(t) = 6 - t^2(m/s),tttừ 0 đến 4s. Tính quãng đường vật đi được.

    Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x)=x² và vùng diện tích dưới đường cong từ x=1 đến x=2 (tương ứng ∫₁² x² dx) cùng đồ thị nguyên hàm F(x)=x³/3, thể hiện sự khác nhau F(2)−F(1)
    Đồ thị hàm số f(x)=x² và vùng diện tích dưới đường cong từ x=1 đến x=2 (tương ứng ∫₁² x² dx) cùng đồ thị nguyên hàm F(x)=x³/3, thể hiện sự khác nhau F(2)−F(1)
  • Giải: v(t)=0v(t) = 0khit=6≈2,45t=\sqrt{6} \approx 2,45. Chia đoạn [0;4][0;4]thành[0;6][0;\sqrt{6}]và [6;4][\sqrt{6};4].
  • Trên [0;6][0;\sqrt{6}], v(t)≥0v(t) \geq 0; trên [6;4][\sqrt{6};4], v(t)<0v(t) < 0.
  • S=∫06(6−t2)dt+∫64(t2−6)dtS = \int_{0}^{\sqrt{6}} (6 - t^2)dt + \int_{\sqrt{6}}^{4} (t^2 - 6)dt
  • Tính nguyên hàm:∫(6−t2)dt=6t−13t3\int (6-t^2)dt = 6t - \frac{1}{3}t^3
  • Tại t=6t=\sqrt{6}: 66−13(6)3=66−26=466\sqrt{6} - \frac{1}{3}(\sqrt{6})^3 = 6\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}
  • Tạit=0t=0: 0.
  • ⇒∫06=46\Rightarrow \int_{0}^{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}
  • Từ 6\sqrt{6} đến 4:∫64(t2−6)dt=[13t3−6t]64\int_{\sqrt{6}}^{4} (t^2-6)dt = [\frac{1}{3}t^3-6t]_{\sqrt{6}}^{4}
  • =[13∗64−24]−[13(66)−66]=(21.33−24)−[26−66]=(−2.67)−(−46)=46−2.67= \Big[\frac{1}{3}*64-24\Big]-\Big[\frac{1}{3}(6\sqrt{6})-6\sqrt{6}\Big]= (21.33-24)-[2\sqrt{6}-6\sqrt{6}] = (-2.67)-( -4\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} -2.67
  • Vậy S=46+46−2.67=86−2.67≈16.96S = 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6} -2.67 = 8\sqrt{6} -2.67 \approx 16.96 (mét).

    • Bài tập 2: Một vật chuyển động vớiv(t)=3tv(t) = 3t(m/sm/s),tttừ 0 đến 2 (s). Tính quãng đường vật đi được.

    • v(t)≥0v(t) \geq 0trên[0;2][0;2], nênS=∫023tdt=[32t2]02=6S = \int_{0}^{2} 3t dt = [\frac{3}{2}t^2]_{0}^{2} = 6(mét).

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Nhầm lẫn giữa tích phân vận tốc và quãng đường khi vận tốc đổi dấu: Luôn kiểm tra dấu vận tốc, lấy giá trị tuyệt đối.
  • - Bỏ sót các mốc thời gian vận tốc đổi dấu: Phải tìm nghiệmv(t)=0v(t) = 0.
  • - Quên lấy giá trị tuyệt đối, dẫn đến kết quả quãng đường bị âm.
  • - Sai đơn vị các đại lượng trong bài toán thực tế.

    • 8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

    - Quãng đường bằng tích phân giá trị tuyệt đối vận tốc:S=∫∣v(t)∣dtS = \int |v(t)|dt.
    - Nếu vận tốc cùng dấu, quãng đường là tích phân của vận tốc.
    - Nếu vận tốc đổi dấu, chia khoảng thành các đoạn cùng dấu, lấy tích phân giá trị tuyệt đối từng đoạn.
    - Tích phân vận tốc chính là độ biến thiên vị trí.
    - Luôn kiểm tra nghiệmv(t)=0v(t)=0và dùng đúng đơn vị.

    Việc nắm chắc phương pháp sử dụng định nghĩa tích phân giúp học sinh giải quyết linh hoạt nhiều dạng bài về vận tốc – quãng đường, đặc biệt trong đề thi tốt nghiệp THPT và ứng dụng thực tiễn.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".