1. Mở đầu: Từ Toán học đến thực tiễn cuộc sống

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” không chỉ là kiến thức hàn lâm dùng để giải bài thi, mà còn gắn liền với rất nhiều vấn đề thực tiễn mà bạn gặp hàng ngày. Liệu bạn đã từng nghĩ: chọn địa điểm tụ tập sao cho xa nhất khỏi thầy cô, đi siêu thị cần tối ưu chi tiêu, hay làm sao đội bóng của lớp giành chiến thắng với số điểm tối đa… đều liên quan đến tối ưu — tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất? Hãy cùng khám phá ứng dụng của bài toán cực trị trong cuộc sống và các ngành nghề nhé!

2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Định nghĩa và vai trò then chốt

Khi nghiên cứu hàm số $y = f(x)$trên một khoảng xác định, "giá trị lớn nhất" (max) là giá trị $f(x)$lớn nhất mà hàm số đạt được, còn "giá trị nhỏ nhất" (min) là giá trị $f(x)$nhỏ nhất trên khoảng đó. Tìm max hoặc min là "bài toán tối ưu" – tìm ra phương án tốt nhất/ít thiệt hại nhất giữa các phương án khả thi. Những bài toán như vậy không chỉ xuất hiện trong Toán học mà còn là nền tảng của rất nhiều lĩnh vực trong cuộc sống.

Ví dụ, khi bạn dùng điện thoại cân nhắc xem học bao nhiêu giờ mỗi ngày là hợp lý để vừa đạt điểm cao vừa có thời gian chơi game, đó chính là ứng dụng của giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

3. Ứng dụng trong đời sống hàng ngày: Gặp tối ưu ở khắp nơi!

Tối ưu – cực trị – không chỉ dành riêng cho các nhà toán học mà còn ở cả những tình huống rất đỗi "teen" và gần gũi với học sinh:

• Chia bánh, chia kẹo công bằng: Khi chia đều bánh hoặc kẹo cho bạn bè, để mỗi người nhận được nhiều nhất nhưng tổng chia không vượt số lượng có sẵn – ấy chính là tìm giá trị lớn nhất.
• Chọn đường đi ngắn nhất đến trường: Bạn muốn đến trường nhanh nhất, đi tuyến đường nào để thời gian nhỏ nhất? Đó là “bài toán tối ưu hóa lộ trình”.
• Mua hàng săn sale: Muốn mua đủ vật dụng với chi phí nhỏ nhất có thể, bạn sẽ cân nhắc, so sánh, tối thiểu hóa tổng số tiền phải chi – chính là tìm giá trị nhỏ nhất!

Khi vận dụng, bạn sẽ dùng các bài toán hàm bậc ba, bậc bốn… để mô tả chi phí, quãng đường, thời gian và tính cực trị.

4. Ứng dụng trong các ngành nghề: Toán học cực trị ở mọi nơi!

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hiện diện không chỉ ở đời thường, mà còn là nền tảng cho rất nhiều ngành khoa học, công nghệ và sản xuất thực tiễn:

1. Kinh tế học (Economics): Tối đa hóa lợi nhuận, giảm thiểu chi phí cho doanh nghiệp, cá nhân.
   Ví dụ: Tìm giá bán sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, sử dụng bài toán tối ưu hàm bậc hai.
2. Quản trị sản xuất và logistics: Xếp hàng hóa sao cho thể tích chiếm nhỏ nhất, chi phí vận chuyển nhỏ nhất hoặc tối đa số mặt hàng vận chuyển.
   Ví dụ: Tìm kích thước kiện hàng sao cho chi phí vật liệu làm thùng là nhỏ nhất.
3. Công nghệ thông tin: Tối ưu hóa thuật toán, tìm thời gian thực hiện lệnh nhanh nhất, tối thiểu lượng tài nguyên máy tính sử dụng.
   Ví dụ: Giảm thời gian xử lý bằng phương án thuật toán ngắn nhất.
4. Y học - Sinh học: Tối ưu liều thuốc, xác định thời gian điều trị ngắn nhất hoặc hiệu quả điều trị cao nhất.
   Ví dụ: Xác định liều lượng thuốc để hiệu quả tối đa mà không vượt ngưỡng nguy hiểm.
5. Kiến trúc - Xây dựng: Tối ưu diện tích, thể tích, giảm chi phí xây dựng hoặc đảm bảo bền vững lâu dài nhất.
   Ví dụ: Tìm kích thước phòng sao cho diện tích sử dụng tối đa với vật liệu nhất định.

5. Các ví dụ thực tế với số liệu cụ thể

1. Kinh tế: Một cửa hàng bán đồng phục trường học, chi phí sản xuất cho mỗi áo là $x$(nghìn đồng), hàm lợi nhuận$L(x) = -2x^2 + 40x - 100$.
   Tìm số áo$x$bán ra để lợi nhuận lớn nhất.
   
   - Giải: Lợi nhuận đạt cực đại tại$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-40}{2*(-2)} = 10$. Vậy nên bán 10 áo để lợi nhuận lớn nhất.
2. Kiến trúc: Diện tích hình chữ nhật với chu vi 20m lớn nhất khi là hình vuông.
   - Hàm diện tích$S(x) = x(10 - x)$(với$x$là chiều dài). Cực trị $x = 5$, hình vuông cạnh 5m có diện tích lớn nhất$25m^2$.
3. Logistics: Một chiếc hộp không nắp đáy, thể tích$V = x^2h = 32.000cm^3$, muốn chi phí làm đáy nhỏ nhất (đáy hình vuông), tìm kích thước tối ưu.
   - Biểu diễn$h = \frac{32.000}{x^2}$, tính diện tích đáy$A = x^2$, sử dụng hàm số để tìm$x$nhỏ nhất.

6. Kết nối liên môn: Khi cực trị không chỉ là Toán học!

Bài toán cực trị có mặt trong Vật Lý (tối ưu hóa công suất nguồn điện trong mạch), Hóa học (tối ưu hóa phản ứng), Tin học (tối ưu thuật toán), Địa lý (tính toán lộ trình vận chuyển hiệu quả), Sinh học (xác định chế độ dinh dưỡng tối ưu). Việc học cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề và kỹ năng phân tích số liệu mà bất kỳ ngành nào cũng cần.

7. Dự án nhỏ cho học sinh: Áp dụng cực trị từ lớp học ra ngoài đời

Bạn có thể tự tay thực hiện các dự án nhỏ như sau để thấy Toán không chỉ trên giấy mà còn ở ngoài đời thực:

• Tối ưu thời gian ôn thi – lập kế hoạch học mỗi ngày để tổng số giờ hiệu quả đạt lớn nhất mà vẫn có thời gian giải trí.
• Thiết kế chiếc hộp, tủ đựng đồ chơi cho lớp, tìm kích thước thùng sao cho thể tích lớn nhất hoặc vật liệu ít nhất.
• Khảo sát giá vé xe, tàu đi chơi xa, tìm lộ trình tổng chi phí nhỏ nhất cho nhóm bạn.

8. Ý kiến chuyên gia: Mỗi học sinh đều cần tư duy tối ưu!

"Bài toán cực trị không chỉ rèn tư duy logic mà còn giúp các em hiểu cách đưa ra quyết định tối ưu trong bất cứ tình huống nào — từ học tập đến quản lý tài chính, hay đơn giản là đi chợ mua rau! Những ai học tốt phần này đều có lợi thế rất lớn trong mọi ngành nghề sau này."
— Trích lời ThS. Phạm Minh Tuấn, Giáo viên Toán THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam.

9. Tài nguyên bổ sung: Học thêm để áp dụng cực trị vào thực tiễn

- Sách: "Ứng dụng Toán học trong cuộc sống" (NXB Giáo dục)
- Website:
+ https://gomath.vn/topic-cuc-tri-ung-dung (Chuyên đề cực trị ứng dụng)
+ Khan Academy: Optimization in real life
- Channel Youtube: Học toán cùng thầy Cường (chuỗi video về tối ưu hoá và ứng dụng trong khoa học, công nghệ)
- Các dự án STEM học sinh tham khảo tại: https://stem2023.moet.gov.vn/

Hy vọng qua bài viết, bạn sẽ thấy Toán học không tách rời đời sống mà hiện diện khắp mọi lĩnh vực quanh ta. Hãy chủ động sử dụng tư duy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không chỉ để giải bài kiểm tra, mà còn để giải quyết những vấn đề thú vị trong cuộc sống thực của chính mình!