Ứng dụng so sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm trong cuộc sống hiện đại

1. Giới thiệu về khái niệm toán học và tầm quan trọng của nó

Trong toán học lớp 12, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số thường xuất hiện trong phần giải tích. Có hai phương pháp chủ yếu: sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra giá trị tại các điểm đặc biệt, và dùng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị. Việc so sánh kết quả này không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng tư duy logic mà còn có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống – từ kinh doanh, kỹ thuật, khoa học đến việc ra quyết định trong đời thường.

2. Các ứng dụng trong đời sống hàng ngày

Toán học không chỉ nằm trên trang giấy mà còn hiện hữu trong từng quyết định, lựa chọn của chúng ta. Dưới đây là ba ví dụ về ứng dụng của việc tìm GTLN, GTNN trong đời sống thực tế:

• Quản lý ngân sách cá nhân: Khi lên kế hoạch chi tiêu cho một chuyến du lịch, học sinh có thể sử dụng các công thức tối đa - tối thiểu để phân bổ ngân sách sao cho vừa tiết kiệm nhưng vẫn đảm bảo trải nghiệm (GTLN số ngày đi, GTNN chi phí khách sạn).
• Tiết kiệm năng lượng: Khi dùng bình nước nóng, việc tìm ra mức nhiệt độ tối ưu vừa đủ nóng (GTLN nhiệt độ/lợi ích), vừa tiết kiệm điện (GTNN chi phí điện năng) để làm vừa lòng các thành viên trong gia đình là bài toán thực tế mỗi ngày.
• Sắp xếp thời gian học tập: Học sinh thường muốn tối ưu hóa hiệu quả học tập bằng cách cân nhắc khối lượng kiến thức nên tiếp nhận mỗi buổi. Làm sao để đạt giá trị thành tích cao nhất trong quá trình luyện đề (GTLN điểm số) mà không bị quá tải (GTNN thời gian căng thẳng)?

3. Ứng dụng trong các ngành nghề khác nhau

Khái niệm GTLN, GTNN và khả năng so sánh các cách tìm chúng là nền tảng cho rất nhiều ngành nghề:

• Kinh tế: Các nhà kinh tế sử dụng đạo hàm để xác định điểm sản xuất tối ưu (GTLN lợi nhuận, GTNN chi phí).
• Kỹ thuật: Kỹ sư xây dựng tìm ra chiều cao, chiều rộng tối ưu để tiết kiệm vật liệu nhưng vẫn đảm bảo an toàn công trình.
• Công nghệ thông tin: Lập trình viên tối ưu hoá thuật toán để có tốc độ xử lí nhanh nhất (GTLN hiệu suất, GTNN độ trễ).
• Y dược: Chuyên gia bào chế thuốc tìm ra liều lượng hiệu quả nhất, tối thiểu hóa tác dụng phụ, tối đa hóa hiệu quả điều trị cho bệnh nhân.
• Quản lý logistics: Các nhà lập kế hoạch vận tải xác định lộ trình ngắn nhất hoặc tiết kiệm nhiên liệu nhất cho xe giao hàng hằng ngày.

4. Các ví dụ thực tế với số liệu và tình huống cụ thể

Hãy cùng nhìn vào một tình huống thực tế: Một nhà máy sản xuất nước giải khát muốn sản xuất loại bình chứa sao cho dung tích lớn nhất nhưng với một lượng cố định nhôm để tiết kiệm chi phí. Nếu gọi bán kính đáy là $r$(cm), chiều cao là $h$(cm), thùng có dạng hình trụ với diện tích toàn phần$S = 2\pi r (r + h) = 1000$(cm²), cần tối đa hóa thể tích$V = \pi r^2 h$.

Bằng cách dùng đạo hàm, học sinh tính được$V$ đạt GTLN tại$r = \frac{1000}{4\pi}$(sau khi giải phương trình bậc hai đơn giản hoá). Nếu kiểm tra trên máy tính cầm tay tại các giá trị $r$từ 1 đến 30, cũng thấy$V$ đạt cực đại xấp xỉ ở điểm này. Như vậy, hai phương pháp bổ trợ giúp xác định phương án tối ưu chính xác và nhanh chóng.

Hoặc khi một bạn học sinh bán hàng online cần tính giá sản phẩm sao cho lợi nhuận lớn nhất. Nếu mỗi sản phẩm có lợi nhuận$L = (giá_bán - giá_nhập) \times số_lượng_bán$, và biết rằng số_lượng_bán phụ thuộc vào giá bán qua khảo sát thực tế: bán giá càng rẻ thì số lượng càng nhiều nhưng lợi nhuận mỗi sản phẩm sẽ giảm. Việc xác định điểm "ngọt" lợi nhuận lớn nhất (GTLN) cần thử nhiều giá khác nhau (như máy tính) và dùng bảng đạo hàm để tìm chính xác.

5. Kết nối với các môn học khác

Khái niệm tối ưu hóa (tìm GTLN, GTNN) còn liên quan chặt chẽ đến Vật lý (bài toán tối ưu quãng đường, tốc độ, năng lượng), Hóa học (tối ưu phản ứng, hiệu suất), Tin học (tối ưu thuật toán như tìm đường đi ngắn nhất trên bản đồ), Sinh học (quản lý quần thể, tối đa hóa lợi ích sinh vật), và thậm chí cả trong môn Công nghệ với quản lý sản xuất hay nông nghiệp thông minh.

6. Các dự án nhỏ học sinh có thể thực hiện để áp dụng kiến thức

• Lập kế hoạch chi tiêu tối ưu khi mua sắm Tết – làm bảng tính Excel tối thiểu hóa chi phí mà vẫn mua được đủ các món muốn thiết yếu.
• Xây dựng mô hình tối ưu hoá điểm số với thời gian học tập hợp lý giữa các môn – sử dụng phần mềm bảng tính để thử nhiều phương án.
• Thực hiện dự án làm nước hoa quả: chọn tỷ lệ pha loãng nước ép sao cho vừa tiết kiệm nguyên liệu, vừa giữ được hương vị ngon nhất – thử nghiệm thực tế và ghi chép dữ liệu.

7. Phỏng vấn/Trích dẫn chuyên gia

“Việc so sánh hai phương pháp – máy tính và đạo hàm – giúp các bạn học sinh không chỉ hiểu toán học theo công thức, mà còn biết cách lựa chọn giải pháp nhanh – chính xác – phù hợp với từng tình huống thực tế. Đây là kỹ năng cực kỳ hữu dụng, chuẩn bị cho các bạn bước vào môi trường đại học và công việc sau này.” – Thầy Nguyễn Văn Tuấn, giáo viên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

8. Tài nguyên bổ sung để học sinh tìm hiểu thêm

• Sách giáo khoa Giải tích 12 – phần tối ưu hóa
• Video bài giảng về ứng dụng đạo hàm trên kênh YouTube “On Thi THPT Quốc Gia Toán”
• Chuyên đề: “Ứng dụng thực tiễn tối đa – tối thiểu” trên trang hocmai.vn
• Ứng dụng máy tính Casio FX-580VNX mô phỏng quá trình tìm GTLN, GTNN

Kết luận: Toán học là công cụ thiết yếu của cuộc sống hiện đại

Việc hiểu và so sánh hai phương pháp tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất giúp học sinh rèn kỹ năng tư duy, phân tích, giải quyết bài toán tối ưu thực tế. Đó cũng chính là bước chuẩn bị tốt để các bạn tự tin bước vào môi trường đại học, nghề nghiệp hoặc đơn giản là làm chủ cuộc sống một cách thông minh!