Ứng dụng So sánh Kết quả Tìm GTLN, GTNN giữa Máy tính và Đạo hàm trong Cuộc sống Thực tế

Giới thiệu về khái niệm toán học và tầm quan trọng của nó

Trong chương trình Toán 12, một chủ đề quan trọng là so sánh cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bằng hai phương pháp: sử dụng máy tính cầm tay và sử dụng đạo hàm. Đây không chỉ là kiến thức lý thuyết mà còn là công cụ cực kỳ hữu ích để giải quyết hàng loạt bài toán thực tiễn, từ tối ưu hóa sản xuất, lập kế hoạch kinh doanh, đến thiết kế kỹ thuật. Việc nắm vững GTLN, GTNN giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng giải quyết vấn đề và có cái nhìn thực tế về cuộc sống.

Ứng dụng trong đời sống hàng ngày

1. Tối ưu hóa chi phí đi lại:

Bạn có từng nghĩ việc lựa chọn tuyến đường đi học hay đi làm sao cho ngắn nhất chính là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất? Ví dụ, bạn muốn đi từ nhà đến trường với quãng đường ngắn nhất, và mỗi phương án đều có chi phí, thời gian khác nhau. Áp dụng GTNN giúp bạn quyết định chọn phương án tối ưu nhất, tiết kiệm thời gian và công sức.

2. Cân đối dinh dưỡng:

Giả sử bạn cần lựa chọn thực đơn hàng ngày để vừa đủ năng lượng mà chi phí tối ưu. Tính toán lượng calo cần thiết, kết hợp các món ăn với giá cả khác nhau để đạt được "giá trị nhỏ nhất" về chi phí nhưng vẫn thỏa mãn "giá trị lớn nhất" về sức khỏe.

3. Lập ngân sách chi tiêu cá nhân:

Quản lý ví tiền, chia ngân sách cho các khoản như ăn uống, học tập, vui chơi… sao cho mỗi khoản vừa đủ, hợp lý – đó là một dạng bài toán tối ưu rất đời thường. Với kỹ năng tìm GTLN, GTNN, bạn luôn làm chủ được kế hoạch chi tiêu xuyên suốt tháng mà vẫn có dư "quỹ an toàn".

Ứng dụng trong các ngành nghề khác nhau

1. Kinh tế - Quản trị kinh doanh: Xác định mức giá bán để đạt lợi nhuận tối đa, hoặc tối ưu hóa chi phí sản xuất.

2. Kỹ thuật xây dựng - Cầu đường: Thiết kế hình dạng dầm, cầu chịu tải trọng lớn nhất với khối lượng vật liệu nhỏ nhất.

3. Nông nghiệp: Tìm ra lượng phân bón hợp lý nhất để cây trồng phát triển tối ưu mà không lãng phí.

4. Công nghệ thông tin: Lập trình thuật toán tối ưu hóa tốc độ xử lý hoặc tài nguyên hệ thống.

5. Tài chính - Ngân hàng: Tìm lãi suất vay thấp nhất, tỷ lệ sinh lợi lớn nhất cho các khoản đầu tư.

Ví dụ thực tế với số liệu và tình huống cụ thể

Ví dụ 1: Doanh nghiệp sản xuất một sản phẩm với lợi nhuận$L(x) = -2x^2 + 8x + 3$(triệu đồng), với$x$là số đơn vị bán ra. Hỏi cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt lớn nhất?

Sử dụng đạo hàm:$L'(x) = -4x + 8$. Cho$L'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$. Thay vào$L(x)$:$L(2) = -2 \times 4 + 8 \times 2 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11$(triệu đồng).

Sử dụng máy tính cầm tay, nhập hàm số và tìm GTLN trên đoạn hợp lý (ví dụ $x$từ 0 đến 10), kết quả cũng cho ra$x = 2$với lợi nhuận$11$triệu đồng.

Ví dụ 2: Một nông dân bón phân cho ruộng rau với hàm năng suất$N(y) = -0,5y^2 + 6y + 10$($y$là kg phân/hecta). Tìm lượng phân bón tối ưu.
Đạo hàm:$N'(y) = -y + 6$.$N'(y) = 0 \Rightarrow y = 6$(kg/ha).
Dùng máy tính, nhập bảng giá trị và so sánh, cũng sẽ đạt giá trị cực đại ở $y = 6$.

Cách khái niệm này kết nối với các môn học khác

Kiến thức về GTLN, GTNN không chỉ giúp bạn học tốt Toán mà còn là nền tảng của môn Vật lý (tính toán lực tối đa, tối thiểu), Hóa học (nồng độ tối ưu trong phản ứng), Tin học (giải thuật tìm kiếm giá trị cực đại/ cực tiểu), Kinh tế (lập mô hình lợi nhuận/lỗ),... Thậm chí, khi đi thi Olympic, tư duy tối ưu cũng luôn được đánh giá cao.

Các dự án nhỏ học sinh có thể thực hiện để áp dụng kiến thức

• Lập bảng dự trù chi tiêu cá nhân/tháng, tìm cách tối ưu hóa cho từng khoản mục.
• Xây dựng lộ trình đi học tiết kiệm thời gian/bán kính di chuyển ít nhất và minh họa bằng bản đồ.
• Khảo sát năng suất học tập qua thời lượng ôn bài, tìm mức ôn tập tối ưu cho điểm trung bình cao nhất.
• Tối ưu hóa lịch sinh hoạt/ngủ nghỉ để đạt hiệu quả học tập và sức khỏe.
• Nghiên cứu bài toán dinh dưỡng: với ngân sách ít nhất, xây thực đơn đủ năng lượng cho học sinh trong 1 tuần.

Ý kiến chuyên gia: Vai trò của toán học trong thực tiễn

"Các bài toán tối ưu xuất hiện ở mọi nơi trong cuộc sống. Nếu biết sử dụng công cụ máy tính cầm tay kết hợp hiểu bản chất toán học qua đạo hàm, học sinh sẽ giải quyết vấn đề nhanh và chuẩn xác hơn, đồng thời phát triển tư duy logic toàn diện. Tôi luôn khuyến khích học sinh chủ động thử cả hai phương pháp để thấy rõ ưu - nhược điểm và lựa chọn linh hoạt theo tình huống." (Thầy Nguyễn Thanh Hải – Giáo viên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị)

Tài nguyên bổ sung

• Sách Giáo khoa Toán lớp 12 – chương Hàm số
• Trang toán học trực tuyến: https://www.mathvn.com/
• Video hướng dẫn tối ưu hóa thực tiễn: Kênh YouTube VietMath
• Ứng dụng GeoGebra – cho phép vẽ đồ thị và kiểm tra giá trị cực trị nhanh chóng
• Khóa học luyện thi/ôlympic Toán trực tuyến trên edX, Coursera

Với sự phát triển của công nghệ và sự lan tỏa của toán học, việc hiểu và vận dụng linh hoạt hai phương pháp tìm GTLN, GTNN không chỉ giúp bạn đạt thành tích cao trong thi cử mà còn là kỹ năng sống hữu ích, mở rộng cánh cửa vào mọi ngành nghề và lĩnh vực trong tương lai!