Giới thiệu chung về khái niệm và tầm quan trọng của việc tìm GTLN, GTNN

Trong cuộc sống, rất nhiều quyết định của chúng ta đều liên quan đến việc tối ưu hóa—tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một đại lượng nào đó. Toán học cung cấp hai con đường chính: sử dụng máy tính (đồ thị, công cụ số) hoặc áp dụng đạo hàm để phân tích. Việc kết hợp “so sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm” không chỉ giúp ta kiểm chứng kết quả mà còn mở ra những ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực.

1. Khái niệm toán học và tầm quan trọng

• GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] là những giá trị cực đại và cực tiểu mà hàm số đạt được. Cách truyền thống dùng đạo hàm: tìm nghiệm của$f'(x)=0$, xét dấu của$f'$ để phân loại. Trong khi đó, máy tính cầm tay, phần mềm đồ họa như GeoGebra hay WolframAlpha cho phép vẽ đồ thị và tính gần đúng.

• Việc so sánh kết quả giữa hai phương pháp giúp:

• Xác thực độ chính xác khi tính tay hoặc dùng máy.
• Rút kinh nghiệm khi phần mềm gặp sai số gần đúng.
• Hiểu sâu hơn về bản chất của cực trị và giới hạn tính toán.

2. Ứng dụng trong đời sống hàng ngày

Áp dụng lý thuyết GTLN, GTNN giúp chúng ta ra quyết định thông minh hơn. Dưới đây là 3 ví dụ cụ thể:

2.1 Tối ưu gói cước tiêu dùng

Giả sử bạn sử dụng điện thoại mỗi tháng khoảng 200 phút gọi và 5 GB data. Nhà mạng A có biểu đồ chi phí $C_1(x)$, B có $C_2(x)$. Dùng GeoGebra, bạn vẽ đồ thị và thấy GTNN của$C_1(x)$ ở 210 phút, 4.8 GB là 250 000 ₫; trong khi tính đạo hàm và giải$C_1'(x)=0$cho kết quả tương tự, sai số dưới 1 %.

2.2 Tối ưu lộ trình di chuyển

Trên ứng dụng bản đồ, thời gian di chuyển$T(d)$thay đổi theo độ dài quãng đường$d$. Việc tìm GTNN của$T(d)$giúp chọn lộ trình nhanh nhất. So sánh với việc tính đạo hàm gần đúng bằng công thức tốc độ trung bình cho phép lái xe điều chỉnh ngay khi tắc đường.

2.3 Quản lý năng lượng trong nhà thông minh

Hệ thống điều hòa tự động tính công suất tiêu thụ $P(t)$theo thời gian$t$. Tìm GTNN của$P(t)$trong ngày giúp cài đặt nhiệt độ tối ưu. Việc so sánh với đạo hàm lý thuyết giúp nhà tự động học thích ứng với sai số đo môi trường.

3. Ứng dụng trong các ngành nghề khác nhau

Khái niệm tối ưu hóa không chỉ dừng ở trường học mà còn là công cụ đắc lực của nhiều ngành nghề:

• Kỹ sư cơ khí: Thiết kế chi tiết máy với mô-men lực cực đại.
• Kỹ sư điện: Tối ưu mạch điện để giảm hao phí điện năng.
• Chuyên viên kinh tế – tài chính: Tìm điểm hòa vốn, tối đa lợi nhuận.
• Chuyên gia marketing: Xác định mức đầu tư quảng cáo cho hiệu quả tối ưu.
• Bác sĩ: Tính liều lượng thuốc để đạt nồng độ hiệu quả cực đại.
• Quản lý chuỗi cung ứng: Tối thiểu tồn kho, tối đa hiệu suất.
• Lập trình viên AI: Tối ưu hàm mất mát khi huấn luyện mô hình.

4. Ví dụ thực tế với số liệu và tình huống cụ thể

Ví dụ 1: Thiết kế bao bì hộp giấy
Cho hộp chữ nhật có kích thước$x$,$y$,$z$sao cho$V=xyz=1000ext{cm}^3$. Diện tích$S(x,y,z)=2(xy+xz+yz)$. Ta đặt$y=z$ để đơn giản,$x=\frac{1000}{y^2}$. Suy ra$S(y)=2igl(y^2+2\frac{1000}{y}igr).$Tính$S'(y)=4y-4000y^{-2}$, giải$S'(y)=0$cho$y=igl(1000igr)^{1/3}hickapprox10ext{cm}$. Kết quả GTNN của$S$là $600ext{cm}^2$. Dùng máy tính đồ thị kiểm tra cho kết quả $602ext{cm}^2$(sai số 0.3%).

Ví dụ 2: Tối ưu lợi nhuận bán bánh mì
Một tiệm bánh có hàm lợi nhuận$L(p)=(-0.5p^2+20p-100)$(đơn vị triệu đồng,$p$giá bán). Tính$L'(p)=-p+20=0o p=20ext{nghìn đồng}$. Khi đó $L_{m max}=100ext{triệu đồng}$. Phần mềm thu nhập cho$L_{m max}hickapprox100.2$, lệch 0.2% do xấp xỉ số.

5. Kết nối với các môn học khác

• Vật lý: tối ưu góc bắn, quỹ đạo;
• Hóa học: cân bằng nồng độ phản ứng để đạt hiệu suất cao nhất;
• Tin học: thuật toán tối ưu, machine learning;
• Giáo dục công dân, Kinh tế: ứng dụng trong quản lý nguồn lực xã hội.

6. Các dự án nhỏ học sinh có thể thực hiện

• Phân tích chi phí và lợi ích việc đi xe buýt, xe máy, ô tô theo hàm chi phí thời gian và nhiên liệu.
• Tối ưu thời gian học tập: khảo sát thời điểm làm bài tập nhanh nhất.
• Thiết kế ứng dụng nhỏ trên Python/GraCC để tìm cực trị hàm số của chính các bạn.
• Nghiên cứu tối ưu lợi nhuận bán hàng trực tuyến qua Facebook, Shopee.
• Tính toán tối ưu nhiệt độ phòng, quạt, đèn để tiết kiệm điện theo ngày.

7. Phỏng vấn hoặc trích dẫn từ chuyên gia

“Việc so sánh kết quả giữa máy tính và đạo hàm giúp học sinh hiểu sâu về sai số và bản chất toán học,” chia sẻ thầy Nguyễn Văn A – Giáo viên Toán, Trường THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội. Thầy A còn khuyến khích học sinh tự vẽ đồ thị, sau đó giải$f'(x)=0$ để kiểm chứng trực tiếp trên giấy.

Chị Trần Thị B – Kỹ sư dữ liệu tại Công ty Công nghệ XYZ nhận định: “Trong thực tế, khi huấn luyện mô hình, chúng tôi vừa dùng đạo hàm để điều chỉnh gradient, vừa dùng thư viện tối ưu tự động để kiểm tra.”

8. Tài nguyên bổ sung

• Sách “Giải tích 12” – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
• Trang Khan Academy (khanacademy.org) – Bài giảng về cực trị hàm số.
• GeoGebra (geogebra.org) – Phần mềm vẽ đồ thị, tìm cực trị.
• Coursera – Khóa học “Calculus: Single Variable” của Đại học Pennsylvania.
• VOH News (voh.com.vn) – Chuyên mục Toán học thực tiễn.
• VnEdu, Hệ thống bài giảng điện tử trên vn.edu.vn.