1. Khái niệm tìm Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên đoạn và tầm quan trọng

Trong toán học lớp 12, đặc biệt ở chuyên đề Giải tích, một trong những vấn đề quan trọng là tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số trên một đoạn – thường được ký hiệu là $[a;b]$. Định nghĩa đơn giản: GTLN của hàm$f(x)$trên đoạn$[a;b]$là số lớn nhất trong các giá trị mà $f(x)$nhận được khi$x$chạy từ $a$ đến$b$, GTNN là giá trị nhỏ nhất tương tự.

Tìm GTLN – GTNN không chỉ là bài học lý thuyết mà còn rất thực tiễn. Nhiều bài toán thực tế như tối ưu hóa chi phí, tìm tự động điều kiện tốt nhất, kiểm nghiệm biên an toàn trong kỹ thuật, hay đánh giá hiệu suất hoạt động trong các ngành nghề đều bắt nguồn từ việc xác định các giá trị cực đại – cực tiểu.

2. Ứng dụng trong đời sống hàng ngày

Tưởng chừng lý thuyết nhưng GTLN-GTNN xuất hiện trong đời sống nhiều hơn bạn tưởng. Hãy cùng khám phá vài ví dụ gần gũi:

• Điều chỉnh nhiệt độ máy lạnh tối ưu trong phòng: Máy lạnh hoạt động tốt nhất và tiết kiệm nhất trong khoảng nhiệt độ phù hợp ($[23;27]^ext{o}$C), bạn cần tìm giá trị phù hợp nhất với cảm nhận (GTNN là tiết kiệm điện nhất, GTLN là mát nhất có thể).
• Tối đa hóa lượng nước tưới cho cây: Một loại cây chỉ phát triển tốt trong khoảng lượng nước$[500;800]$ml/ngày. Nếu tưới ít hoặc nhiều hơn đều không tốt, vậy đâu là lượng nước tối ưu? Đây là bài toán tìm GTLN.
• Đi đường về quê sao cho tiết kiệm xăng nhất: Bạn chọn vận tốc xe máy trong khoảng$[40;60]$km/h. Mức tiêu hao nhiên liệu là một hàm số phụ thuộc vào vận tốc, và bạn muốn xác định tốc độ nào giúp tiết kiệm xăng nhất (GTNN tiêu hao).

3. Ứng dụng trong các ngành nghề

Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, hiểu cách tìm GTLN – GTNN chính là chìa khóa để thành công trong các ngành nghề hiện đại:

1. Kỹ thuật cơ khí: Thiết kế các bộ phận máy móc (trục, bánh răng...) đạt được hiệu suất lớn nhất và đảm bảo các trị số như lực, vận tốc, mô-men xoắn không vượt quá giới hạn an toàn (tìm GTLN trong giới hạn cho phép).
2. Kinh tế – quản trị: Xác định mức sản xuất tối ưu để lợi nhuận đạt cực đại trên đoạn vốn đầu tư nhất định (GTNL lợi nhuận).
3. Nông nghiệp: Lập kế hoạch bón phân, tưới nước hợp lý nhất để cây trồng cho năng suất lớn nhất trong điều kiện khí hậu, đất đai giới hạn.
4. Công nghệ thông tin: Thuật toán tìm kiếm, học máy đều cần tối ưu hóa hàm lỗi hoặc hiệu suất mô hình (tìm GTNN hàm mất mát hoặc GTLN độ chính xác).
5. Y tế: Tìm liều lượng thuốc tối thiểu – tối đa an toàn và hiệu quả trên từng bệnh nhân, dựa theo các hàm số sinh lý học.

4. Ví dụ thực tế với số liệu và tình huống cụ thể

Hãy cùng xem cách các bài toán tìm GTLN – GTNN trên đoạn được sử dụng trong thực tế bằng các ví dụ sáu:

• Kỹ thuật: Một thanh dầm chịu tải có chiều dài$l$tối đa$4$m. Biểu thức mô-men uốn lớn nhất dưới tải là $M(x) = P(l-x)x/2$, với$P=200$kg. Để \tan toàn, kỹ sư cần xác định vị trí x nào$[0;4]$m sẽ cho$M(x)$lớn nhất.
• Kinh tế: Hàm lợi nhuận$L(x) = -2x^2 + 80x - 600$, với$x [10;30]$triệu sản phẩm. Hỏi nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại?
• Nông nghiệp: Năng suất cây trồng phụ thuộc lượng phân bón$y = -0.1x^2 + 6x + 100$,$x [0;30]$kg/ha. Hỏi nên bón bao nhiêu kg phân để thu được năng suất cực đại?
• Tin học: Một thuật toán có thời gian chạy$T(x) = x^2 - 10x + 36$giây,$x [1;10]$là số tham số. Hỏi với$x$nào thì thuật toán chạy nhanh nhất (GTNN)?
• Giáo dục: Một lớp học tổ chức hoạt động ngoại khoá, số học sinh tham gia$n [20;35]$. Chi phí mỗi học sinh là $C(n) = 150000 - 2000n$. Hỏi lớp cần bao nhiêu học sinh để tiết kiệm nhất chi phí?

Các ví dụ này đều quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trên đoạn.

5. Kết nối với các môn học khác

• Vật lý: Tối ưu hóa các thông số chuyển động, điện, nhiệt, ánh sáng – tất cả đều cần xét giá trị cực trị.
• Hóa học: Tìm điều kiện nhiệt độ, nồng độ để phản ứng xảy ra mạnh nhất (tốc độ phản ứng đạt cực đại).
• Sinh học: Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho sự phát triển của vi sinh vật, enzyme, cây trồng.
• Tin học, Lý thuyết thuật toán: Tối ưu hóa thời gian, tài nguyên trong các bài toán.

6. Dự án nhỏ học sinh có thể thực hiện

• Thiết kế và tối ưu hoá mô hình sản phẩm: Làm mô hình túi đựng, thùng chứa với thể tích lớn nhất từ một tấm giấy hình chữ nhật kích thước cố định.
• Khảo sát tiêu thụ điện năng: Ghi nhận dữ liệu sử dụng điện gia đình theo từng giờ để tìm giờ sử dụng nhiều (GTLN) và ít nhất (GTNN), từ đó tư vấn tiết kiệm.
• Tối ưu hóa kế hoạch học tập: Xây dựng biểu đồ học, tìm khung giờ ôn tập mang lại hiểu quả cao nhất với từng môn học.
• Thử nghiệm tối ưu hóa lượng tưới cây: Chia vườn thành các ô nhỏ, thử các mức tưới khác nhau để tìm mức đạt năng suất tốt nhất.

7. Phỏng vấn/trích dẫn chuyên gia

Thầy Nguyễn T. Hòa – giáo viên Toán trường THPT Lê Hồng Phong (TP.HCM) cho biết:

“Các bài toán về tìm GTLN – GTNN không chỉ rèn luyện tư duy logic, mà kỹ năng này còn phản ánh chính cách chúng ta lựa chọn phương án tối ưu mỗi ngày: đi học đường nào nhanh nhất, ăn uống thế nào khỏe nhất, hay thậm chí chọn thời gian biểu học để hiệu quả nhất. Học sinh hoàn toàn nên tận dụng kiến thức này cho mọi lĩnh vực tương lai, đặc biệt nếu muốn theo đuổi khoa học, công nghệ, kinh tế.”

Kỹ sư trẻ Trần Thị Minh Tâm, hiện làm việc tại công ty công nghệ phần mềm, chia sẻ:

“Mình ngạc nhiên khi nhiều bài toán tối ưu thuật toán, giảm thời gian xử lý chương trình đều trực tiếp xoay quanh việc xác định giá trị cực tiểu, cực đại của các hàm số trong giới hạn. Kiến thức lớp 12 đã giúp mình học nhanh khi làm dự án lớn!”

8. Tài nguyên bổ sung để tự học và rèn luyện

• Tham khảo sách giáo trình Đại số, Giải tích 12 (NXB Giáo Dục)
• Video bài giảng của thầy Lê Bá Trần Phương về ứng dụng đạo hàm tìm cực trị (Youtube)
• Trang web luyện thi: Moon.vn, Hocmai.vn, Vted.vn phần bài tập trắc nghiệm cực trị
• Các khóa học Coursera (miễn phí): Optimization, Calculus tối ưu hóa ứng dụng