Ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán thực tế – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của tính đơn điệu trong toán học

Trong chương trình Toán 12, một trong những ứng dụng quan trọng của đạo hàm là khảo sát sự đơn điệu của hàm số và vận dụng vào các bài toán thực tế. Khái niệm này không chỉ là nền tảng để giải các câu hỏi về cực trị, mà còn giúp giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong đời sống như: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tối ưu hóa chi phí, lợi nhuận, vận tốc,… Việc hiểu và vận dụng thành thạo tính đơn điệu sẽ hỗ trợ học sinh rất nhiều trong luyện thi THPT Quốc gia, đặc biệt ở các bài toán thực tiễn ngày càng xuất hiện nhiều.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về tính đơn điệu

Hàm số $y = f(x)$ được gọi làđồng biếntrên khoảng$(a, b)$nếu với mọi$x_1, x_2$thỏa mãn$a < x_1 < x_2 < b$ta có $f(x_1) < f(x_2)$. Nếu$f(x_1) > f(x_2)$thì hàm sốnghịch biếntrên khoảng đó.

Dựa vào đạo hàm, ta có:

- Nếu$f'(x) > 0$với mọi$x$trên$(a, b)$thì $f(x)$ đồng biếntrên$(a, b)$.
- Nếu$f'(x) < 0$với mọi$x$trên$(a, b)$thì $f(x)$nghịch biếntrên$(a, b)$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1 – Bài toán thực tế về tối ưu hóa:
"Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích cố định là $100$m$^2$. Tìm kích thước của mảnh đất sao cho chu vi nhỏ nhất."

Các bước giải:

• Bước 1: Gọi$x$là chiều rộng,$y$là chiều dài ($x, y > 0$). Ta có $xy = 100$.
• Bước 2: Chu vi mảnh đất là $P = 2(x + y)$. Do$y = \frac{100}{x}$nên$P(x) = 2\left(x + \frac{100}{x}\right)$.
• Bước 3: Xét hàm$P(x)$trên miền$x > 0$. Tính đạo hàm:$P'(x) = 2\left(1 - \frac{100}{x^2}\right)$.
• Bước 4: Giải$P'(x)=0 \Rightarrow 1 - \frac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 10$.
• Bước 5: Xét dấu$P'(x)$ để xác định tính đơn điệu:
  - Với$x < 10$,$P'(x) < 0$nghịch biến$<br>- Với$x > 10$,$P'(x) > 0$đồng biến$
  Vậy$P(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại$x = 10$,$y = 10$.
• Kết luận: Kích thước hình vuông ($10$m ×$10$m) cho chu vi nhỏ nhất.

Ví dụ trên cho thấy vai trò của tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trong việc tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đại lượng cần tối ưu.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Luôn xác định đúng miền xác định của hàm số trước khi xét tính đơn điệu.
• Chỉ đạo hàm trên miền xác định, tránh lỗi khi hàm không xác định hoặc không liên tục.
• Cân nhắc đến các ràng buộc thực tế: kích thước, điều kiện dương tính, giá trị tối đa, tối thiểu có ý nghĩa thực tế.
• Trong một số trường hợp, bài toán có thể yêu cầu xét thêm giá trị tại biên để đảm bảo tìm đúng giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

•Tính đơn điệuliên quan chặt chẽ đếncực trịcủa hàm số: điểm mà đạo hàm bằng 0 (hoặc không xác định) thường là điểm mà hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến (hoặc ngược lại).

• Ứng dụng đạo hàm không chỉ cho hàm số đại số, mà còn cho các hàm số mô tả quá trình vật lý, kinh tế, sinh học,… trong các bài toán thực tế.

6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: "Một bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp, có thể tích 32 lít. Tìm kích thước đáy (hình vuông) sao cho diện tích tôn làm bể là ít nhất."

• Gọi cạnh đáy là $x$(dm), chiều cao là $h$(dm).$x^2h=32$dm^3$.
• Diện tích tôn$S = x^2 + 4xh$vì đáy là hình vuông, không có nắp.
• Thay$h = \frac{32}{x^2}$,$S(x) = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}$.
• Tính$S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}$.
• Giải$S'(x) = 0 \Rightarrow 2x = \frac{128}{x^2} \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$.
• Kiểm tra dấu$S'(x)$cho thấy$x=4$là điểm cực tiểu.
• Vậy đáy là hình vuông cạnh 4 dm, chiều cao$h = 2$dm (vì $h = \frac{32}{16} = 2$dm).

Bài tập tự luyện:
1. Một dây thép dài 20 m được uốn thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tìm kích thước hình chữ nhật để diện tích lớn nhất.
2. Có một mảnh đất hình vuông, người ta cắt ở bốn góc mỗi góc một hình vuông cạnh$x$rồi gấp lên thành một cái hộp không nắp. Tìm$x$để thể tích hộp là lớn nhất khi cạnh hình vuông ban đầu là$a$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không xác định đúng miền xác định của hàm số (ví dụ, quên điều kiện$x > 0$).
• Tính đạo hàm sai hoặc thiếu điều kiện đầu bài.
• Không kiểm tra dấu hoặc biện luận dấu đạo hàm trên toàn miền xác định.
• Quên xét giá trị tại các điểm biên khi miền xác định là đoạn, không phải khoảng.

8. Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ

• Tính đơn điệu là công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán tối ưu hóa thực tế.
• Xác định đúng miền xác định và các điều kiện thực tế của bài toán.
• Tính đạo hàm, tìm điểm dừng, xét dấu, từ đó xác định được giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
• Không quên kiểm tra các giá trị tại biên của miền khảo sát.
• Áp dụng cho nhiều lĩnh vực: kỹ thuật, kinh tế, đời sống, sản xuất,…
• Luyện tập nhiều để tránh các lỗi thường gặp và làm chủ phương pháp giải.