Ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán thực tế – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12
T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc
1. Giới thiệu: Tính đơn điệu và vai trò trong thực tiễn toán học lớp 12
Trong chương trình Toán lớp 12, nhất là chuyên đề “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số”, khái niệm tính đơn điệu là công cụ nền tảng quan trọng giúp ta giải quyết hiệu quả nhiều bài toán thực tế. Tính đơn điệu không chỉ giúp xác định khoảng tăng, giảm của hàm số, mà còn đặc biệt hữu ích khi tìm cực trị, giải các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - vốn thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia hoặc các bài toán ứng dụng thực tiễn như tiết kiệm chi phí, tối đa lợi nhuận, tối ưu hóa quãng đường, diện tích, thể tích,... Hiểu rõ và thành thạo vận dụng tính đơn điệu là chìa khóa giúp học sinh chủ động giải quyết các dạng bài tối ưu trong thực tế cũng như trong thi cử.
2. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Hàm số y=f(x) được gọi là:
Đồng biến trên khoảngInếu với mọix1,x2∈I,x1<x2⇒f(x1)<f(x2).
Nghịch biến trên khoảngInếu với mọix1,x2∈I,x1<x2⇒f(x1)>f(x2).
Nói cách khác, hàm đồng biến là hàm luôn tăng, hàm nghịch biến là hàm luôn giảm trên khoảng xét.
Với hàm số liên tục và có đạo hàm trên khoảngI, định lý sau rất quan trọng:
Nếuf′(x)>0,∀x∈Ithì f(x) đồng biến trênI.
Nếuf′(x)<0,∀x∈Ithì f(x)nghịch biến trênI.
Nếuf′(x) đổi dấu tạix0, đây là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) của hàm số.
3. Ứng dụng tính đơn điệu: Các bước giải và ví dụ thực tế
Áp dụng tính đơn điệu thường trải qua các bước sau:
Bước 1: Lập hàm số biểu diễn vấn đề thực tế cần giải (thường là lợi nhuận, chi phí, thể tích, diện tích, quãng đường…).
Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số (giá trị biến số hợp lý trong thực tế).
Bước 3: Tính đạo hàmf′(x)và tìm dấu của đạo hàm để xét tính đơn điệu.
Bước 4: Xác định cực trị (nếu có), kiểm tra giá trị tại các điểm biên hoặc nghiệm trong vùng xét.
Bước 5: Kết luận và giải thích kết quả theo ngữ cảnh bài toán thực tế.
Ví dụ minh họa 1: Bài toán diện tích tối đa
Cho một sợi dây dài 20m, hãy cắt thành hai đoạn: một đoạn uốn thành hình vuông, đoạn còn lại uốn thành hình tròn. Hỏi phải cắt như thế nào để diện tích tổng cộng của cả hai hình là lớn nhất?
Giải chi tiết:
Gọix(m) là chiều dài đoạn dây làm hình vuông⇒ đoạn còn lại là (20−x)(m), dùng làm hình tròn.
Chu vi hình vuông:xnên cạnha=4x.⇒Diện tích vuông:S1=(4x)2=16x2.
Chu vi tròn:20−xnên2πr=20−x⇒r=2π20−x.⇒Diện tích tròn:S2=πr2=π(2π20−x)2=4π(20−x)2.
Tổng diện tích:S=S1+S2=16x2+4π(20−x)2, với0<x<20.
Giá trị này nằm trong(0,20)nên là giá trị cần tìm. Có thể kiểm tra dấu củaS′(x) để xác nhận cực đại.
Như vậy, để tổng diện tích lớn nhất, cắt dây vớix=2π+8160(m) làm vuông, còn lại làm tròn.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
Không phải mọi nghiệm đạo hàm đều là cực trị thực tế. Cần kiểm tra giá trị tại cuối khoảng (biên), vì trong nhiều bài toán thực tế, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất nằm ở biên chứ không phải tại nghiệm của đạo hàm.
Chỉ xét nghiệm đạo hàm phù hợp với miền xác định (nghĩa là biến số phải thỏa mãn điều kiện vật lý hoặc thực tế).
Trường hợp hàm không liên tục hoặc không có đạo hàm tại một số điểm, cần dùng khái niệm đơn điệu theo định nghĩa, không dựa vào đạo hàm.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
Tính đơn điệu có mối liên hệ chặt chẽ với:
Cực trị: Điểm đổi dấu của đạo hàm thường là cực trị.
Ứng dụng đạo hàm: Dấu của đạo hàm dùng để xét đồng biến, nghịch biến.
Hàm số liên tục: Muốn áp dụng định lý về tính đơn điệu và cực trị, hàm số cần liên tục trên khoảng xét.
6. Bài tập mẫu kèm lời giải chi tiết
Ví dụ 2: Bài toán chi phí tối thiểu
Một công ty sản xuất sản phẩm dùng liên kết từ 2 vật liệu khác nhau. Chi phí mỗi máy làC(x)=20x+\frac{200}{x}(triệuđo^ˋng),vớixmaˊyloại1.Hỏiduˋngbaonhie^umaˊyloại1đểchiphıˊtha^ˊpnha^ˊt?(x > 0" data-math-type="inline">
undefined)
Giải:
Tìm tập xác định:x>0.
Tính đạo hàm:C′(x)=20−x2200.
Giải C′(x)=0: 20−x2200=0⇔x2=10⇒x=10.
Kiểm tra dấu C′(x): Với x>0, C′(x) đổi dấu từ âm sang dương tạix=10, nên đây là điểm cực tiểu.
Giá trị nhỏ nhất C(10)=2010+10200
Vậy, nên chọn x=10máy loại 1 (nếu chỉ lấy số nguyên thì chọnx=3hoặcx=4, tính lại chi phí hai giá trị này rồi chọn nhỏ nhất).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tìm giá trị msao choP=m2−4m+5 đạt giá trị nhỏ nhất vớim∈R.
Ta có đạo hàmP′(m)=2m−4. ChoP′(m)=0⇒m=2.
Giá trị nhỏ nhất là P(2)=(2)2−4∗2+5=4−8+5=1.
Như vậy,m=2thì Pđạt giá trị nhỏ nhất là1.
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
Quên xác định miền xác định của bài toán, dẫn đến chọn nghiệm không thực tế.
Không kiểm tra giá trị tại các điểm biên của khoảng.
Chỉ xét nghiệm đạo hàm mà bỏ qua dấu của đạo hàm trước và sau nghiệm này.
Tính toán đạo hàm sai hoặc lập sai hàm cần tối ưu. Luôn rà soát lại phép biến đổi đại số và đạo hàm.
8. Tóm tắt kiến thức và các điểm chính cần nhớ
Tính đơn điệu là công cụ cốt lõi để giải các bài toán tối ưu thực tế thông qua việc xét dấu đạo hàm.
Luôn xây dựng đúng hàm số biểu diễn vấn đề thực tế.
Xác định rõ miền xác định phù hợp với thực tế.
Kiểm tra cả giá trị tại nghiệm đạo hàm và tại các điểm biên.
Liên hệ với các bài toán cực trị, ứng dụng đạo hàm để khảo sát, tối ưu hóa.
Học chắc ứng dụng tính đơn điệu sẽ giúp các em tự tin giải quyết đa số các bài toán tối ưu thường gặp trong đề thi và trong thực tế cuộc sống.
Đăng ký danh sách email của chúng tôi và nhận những mẹo độc quyền, tin tức và ưu đãi đặc biệt được gửi thẳng đến hộp thư đến của bạn.
Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".
Theo dõi chúng tôi tại