1. Giới thiệu chung về vận dụng biểu thức tọa độ trong giải bài toán thực tiễn

Trong chương trình Toán học lớp 12, vận dụng biểu thức tọa độ để giải bài toán thực tiễn là một trong những kỹ năng quan trọng và thường xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Việc sử dụng các công thức tọa độ không chỉ giúp giải các bài toán hình học thuần túy mà còn có khả năng áp dụng linh hoạt vào các bài toán thực tiễn như xác định vị trí, khoảng cách, diện tích, thể tích và các bài toán tối ưu hóa trong thực tế đời sống.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về phương pháp vận dụng biểu thức tọa độ

Vận dụng biểu thức tọa độ là việc sử dụng các công thức, tính chất hình học trong hệ trục tọa độ (thường là hệ tọa độ Oxy hoặc Oxyz) để biểu diễn các điểm, đường thẳng, mặt phẳng, từ đó giải quyết các yêu cầu của đề bài, đặc biệt là trong các tình huống thực tiễn. Mục đích chính là quy đổi các đối tượng thực tiễn sang mô hình toán học có thể mô tả bằng toạ độ.

3. Các bước cụ thể giải bài toán thực tiễn bằng tọa độ - Ví dụ minh họa

Để giải các bài toán thực tiễn bằng phương pháp tọa độ, thường tiến hành theo các bước sau:

• Bước 1: Chuyển đổi bài toán thực tiễn về dạng hình học trong mặt phẳng hoặc không gian.
• Bước 2: Gán tọa độ thích hợp cho các điểm, đối tượng liên quan.
• Bước 3: Sử dụng các công thức tọa độ điểm, đường thẳng, mặt phẳng (hệ số, phương trình...) để mô tả bài toán.
• Bước 4: Áp dụng các công thức tính khoảng cách, diện tích, thể tích, góc,... để giải quyết yêu cầu.
• Bước 5: Diễn giải kết quả bài toán trong bối cảnh thực tiễn.

Ví dụ minh họa:

Một con tàu xuất phát từ điểm$A(2, 5)$hướng tới bờ biển là đường thẳng$d: x + 4y - 20 = 0$. Hỏi điểm cập bến gần nhất là vị trí nào trên bờ biển và tính khoảng cách ngắn nhất từ vị trí xuất phát tới bờ biển.

Giải:

Bước 1: Mô hình hóa. Điểm$A(2,5)$và đường thẳng$d$trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Khoảng cách từ $A$ đến$d$ được tính bằng công thức:

$d = \frac{|2 + 4 - 20|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|2 + 20 - 20|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485$ (đơn vị khoảng cách)

Bước 3: Tìm tọa độ điểm$B$trên$d$sao cho$AB$ngắn nhất.

Biết rằng điểm$B$chính là hình chiếu vuông góc của$A$lên d.

Phương trình tổng quát của đường thẳng$d$:$x + 4y - 20 = 0$.

Gọi$B(x_1, y_1)$là điểm cần tìm, thỏa mãn:

$(x_1 - 2) + 4(y_1 - 5) = 0$(do$B$vuông góc với$d$nên vectơ chỉ phương$d$là $(-4,1)$, vec-tơ hướng từ $A$ đến$B$cùng phương).

Kết hợp phương trình$d$:$x_1 + 4y_1 - 20 = 0$. Giải hệ:

\longrightarrow($sai$, vậy phải phối hợp vectơ pháp tuyến).

Phương trình đường thẳng đi qua$A$vuông góc với$d$có phương trình:$4(x-2) - 1(y-5) = 0 \Rightarrow 4x - y - 3 = 0$
Giải hệ:

Ta có:
$4x - y - 3 = 0 \to y = 4x - 3$
Thay vào phương trình$d$:
$x + 4(4x - 3) - 20 = 0 \to x + 16x -12 -20=0 \to 17x=32 \to x = \frac{32}{17}$
$y = 4x - 3 = \frac{128}{17} -3 = \frac{128-51}{17} = \frac{77}{17}$.

Vậy điểm$B$là $\left(\frac{32}{17}, \frac{77}{17}\right)$.

Kết luận: Toạ độ điểm cập bờ ngắn nhất là $\left(\frac{32}{17}, \frac{77}{17}\right)$và khoảng cách là $\frac{2}{\sqrt{17}}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi các đối tượng (điểm, đường, mặt phẳng) song song hoặc vuông góc với trục tọa độ, biểu thức sẽ đơn giản hơn.
- Khi đặt tọa độ cần chọn hệ trục thích hợp, ưu tiên đặt trùng với các điểm đặc biệt hoặc trục song song với các đối tượng đặc biệt để đơn giản hóa tính toán.
- Chú ý đơn vị đo trong các bài toán thực tế (mét, km, cm,...).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Có liên hệ chặt chẽ với các khái niệm về vectơ, hàm số, phương trình, hình học không gian và lượng giác.
- Vận dụng biểu thức tọa độ thường đi đôi với ứng dụng các định lí hình học như định lí Pythagore, góc, tính chất trung tuyến, đường tròn,...
- Việc hiểu và vận dụng tốt hệ trục tọa độ giúp dễ dàng chuyển đổi giữa hình học thuần túy và hình học giải tích.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Một cột đèn đặt tại điểm$C(0,0)$, một ngôi nhà tọa lạc tại$D(8,6)$. Tìm điểm trên trục hoành mà nếu kéo thẳng dây điện từ cột đèn đến đó rồi sang nhà thì tổng độ dài dây là ngắn nhất.

Lời giải:
Gọi điểm cần tìm là $M(x,0)$.
Tổng độ dài dây điện là $CM + MD = \sqrt{(x-0)^2 + (0-0)^2} + \sqrt{(8-x)^2 + (6-0)^2}$.

Đặt $f(x) = x + \sqrt{(8-x)^2 + 36}$. Để $f(x)$nhỏ nhất, ta xét$x$trong [0,8].
Sử dụng bất đẳng thức tam giác, đường đi ngắn nhất là phản chiếu$D$qua trục hoành thành$D'(8,-6)$và nối$CD'$.
Phương trình $CD'$: $y = \frac{-6}{8}x = -\frac{3}{4}x$.
Lấy $y = 0 \Rightarrow x=0$⇒ điểm$M$là gốc tọa độ. Do vậy, dây điện có độ dài ngắn nhất khi kéo thẳng từ $C$ đến$D$.

Kết luận: Tổng độ dài dây ngắn nhất là $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ (đơn vị) khi kéo thẳng từ cột đèn đến nhà.

Bài tập 2:
Một máy bay bay từ điểm$A(3,7,1)$ đến điểm$B(-2,1,6)$trong không gian. Tính độ dài quãng đường bay.

Lời giải:
Độ dài đoạn $AB$là $\sqrt{(3 + 2)^2 + (7-1)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{25 + 36 + 25} = \sqrt{86}$ (đơn vị).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Đặt sai tọa độ điểm hoặc vật thể (làm sai lệch hướng và thứ tự phép tính).
- Nhầm lẫn giữa phương trình đường thẳng, mặt phẳng và biểu thức tính khoảng cách.
- Không kiểm tra lại điều kiện xác định của các đoạn, điểm (như $x$phải thuộc đoạn$[0,8]$trong bài toán dây điện).
- Sai thứ tự ưu tiên trong áp dụng công thức, đặc biệt khi tìm tối đa, tối thiểu.
- Quên chuyển đổi giữa các đơn vị đo thực tế (mét, kilômét,...) dẫn đến sai kết quả.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Vận dụng biểu thức tọa độ là kỹ năng cực kỳ quan trọng trong giải toán thực tiễn trong chương trình lớp 12 và thi THPT Quốc gia.
- Các bước cơ bản: mô hình hóa bài toán thực tiễn, đặt tọa độ, áp dụng các công thức giải tích (khoảng cách, diện tích, phương trình đường thẳng,...) rồi trả về kết quả thực tế.
- Chú ý đến đơn vị đo lường, hình dung hình học chính xác và áp dụng các công thức phù hợp.
- Luôn kiểm tra kết quả có hợp lý không với bối cảnh bài toán.