Giải thích chi tiết về Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của "Vị trí tương đối của hai đường thẳng" trong Toán 12

Trong chương trình hình học không gian lớp 12, việc xác định "Vị trí tương đối của hai đường thẳng" đóng vai trò nền tảng và quan trọng. Đây là cơ sở để giải quyết các bài toán như tìm giao điểm của hai đường, chứng minh hai đường song song hoặc chéo nhau, cũng như ứng dụng vào các chủ đề sâu hơn như vị trí của đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng, v.v... Khái niệm này sẽ xuyên suốt các bài tập và là kiến thức trọng tâm trong các kỳ thi THPT quốc gia.

2. Định nghĩa cụ thể về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian 3 chiều, hai đường thẳng bất kỳ có thể có một trong ba vị trí tương đối sau:

• a. Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng có một điểm chung duy nhất.
• b. Hai đường thẳng song song: Nếu chúng không có điểm chung, không đồng phẳng nhưng có cùng hướng (cùng véc-tơ chỉ phương hoặc tỉ lệ với nhau).
• c. Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Chú ý: Trong mặt phẳng, hai đường thẳng không song song thì chắc chắn cắt nhau. Tuy nhiên, trong không gian, hai đường thẳng không song song có thể không cắt nhau (gọi là chéo nhau).

3. Phân tích chi tiết từng trường hợp với công thức và ví dụ minh họa

3.1. Biểu diễn phương trình hai đường thẳng trong không gian

Giả sử đường thẳng$d_1$có phương trình tham số:

Đường thẳng$d_2$có phương trình tham số:

3.2. Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Điều kiện:$\boldsymbol{u_1}$và $\boldsymbol{u_2}$cùng phương, tức là tồn tại$k$sao cho:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Nếu ngoài ra,$\overrightarrow{A_1A_2}$(với$A_1$thuộc$d_1$,$A_2$thuộc$d_2$) cũng cùng phương với$\boldsymbol{u}_1$, thì hai đường trùng nhau; nếu không thì chúng song song.

Ví dụ:

Ta có:$\boldsymbol{u_1} = (2,1,4)$,$\boldsymbol{u_2} = (4,2,8)$.
So sánh từng thành phần:$\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Nên$\boldsymbol{u_1}$,$\boldsymbol{u_2}$cùng phương$\Rightarrow$d_1$và$d_2$song song (hoặc trùng, cần kiểm tra thêm).

3.3. Hai đường thẳng cắt nhau

Điều kiện: Hai đường không song song ($\boldsymbol{u_1}$và $\boldsymbol{u_2}$không cùng phương) và hệ phương trình tham số có nghiệm duy nhất$(t, s)$thỏa$d_1(t) = d_2(s)$.

Phương trình:

Giải hệ này, nếu có nghiệm duy nhất$(t_0, s_0)$thì $d_1$và $d_2$cắt nhau tại điểm$M = (x_1 + a_1 t_0, y_1 + b_1 t_0, z_1 + c_1 t_0)$.

Ví dụ:

Ta lập hệ:

Giải hệ, nếu tồn tại$(t_0, s_0)$, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm$M$.

3.4. Hai đường thẳng chéo nhau

Điều kiện: Hai đường không cùng phương, hệ phương trình trên vô nghiệm, tức là không thể tìm được$(t, s)$thỏa mãn cả ba đẳng thức đồng thời.

Ví dụ:

Ta giải:

Từ pt 2:$t = 1$.
Thay vào pt 1:$1 = 1 + 2s \Rightarrow s = 0$.
Kiểm tra pt 3:$2 - 1 = 3 + 0 \,\Leftrightarrow\, 1 = 3$, sai.
Vậy hệ vô nghiệm, hai đường chéo nhau.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hai đường thẳng đồng phẳng: Chúng hoặc cắt, hoặc song song/trùng nhau.
• Hai đường thẳng chéo nhau không bao giờ đồng phẳng.
• Khi kiểm tra song song, cần kiểm tra$\boldsymbol{u_1}$và $\boldsymbol{u_2}$trước khi giải hệ phương trình.
• Nếu cần tính góc, ứng dụng tích vô hướng các vectơ chỉ phương.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• - Góc giữa hai đường thẳng: Dùng tích vô hướng và công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương.
• - Hình hộp, hình lăng trụ: Xác định cạnh song song, vuông góc hay chéo nhau.
• - Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• - Bài toán liên quan tới khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hai đường thẳng:

Xác định vị trí tương đối của chúng.

Lời giải:

Bước 1: Xét vectơ chỉ phương$\boldsymbol{u_1} = (1,2,-1)$,$\boldsymbol{u_2} = (2,4,-2)$.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \boldsymbol{u_1}$và $\boldsymbol{u_2}$cùng phương$\to$hai đường thẳng hoặc song song, hoặc trùng.

Bước 2: Chọn điểm$A(2,1,3)$thuộc$d_1)$,$B(1,1,2)$thuộc$d_2$.

$\boldsymbol{AB} = (1-2,1-1,2-3) = (-1,0,-1)$.
Ta có $\frac{-1}{1} = \frac{0}{2} = \frac{-1}{-1}$:$\frac{-1}{1} = -1$,$\frac{0}{2}=0 \neq -1$,$\frac{-1}{-1}=1$.

Vậy$\boldsymbol{u_1}$và $\boldsymbol{AB}$không cùng phương.
Vì vậy,$d_1$và $d_2$song song.

Bài 2: Cho hai đường thẳng sau:

Xác định vị trí tương đối của chúng.

Lời giải:
Bước 1: Vectơ chỉ phương$\boldsymbol{u_1}=(1,-1,2)$,$\boldsymbol{u_2}=(1,2,4)$.

So sánh:
$\frac{1}{1} = 1$,$\frac{-1}{2} = -0,5 \neq 1$,$\frac{2}{4} = 0,5$.
Vậy hai vectơ không cùng phương, hai đường không song song.

Bước 2: Lập hệ:

Giải:
- Từ pt 1:$t = 3 + s \Leftrightarrow s = t - 3$

- Thay vào pt 2:$2-t = -1 + 2(t-3) \rightarrow 2-t = -1 + 2t -6 \rightarrow 2-t = 2t -7 \rightarrow 3t = 9 \rightarrow t = 3$

-$s = t - 3 = 0$

- Thay$t=3, s=0$vào pt 3:$3 + 2<em>3 = 5 + 4</em>0 \Leftrightarrow 9 = 5$, sai.

Vậy hệ vô nghiệm $\Rightarrow$ hai đường chéo nhau.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• So sánh vectơ chỉ phương không đủ, cần kiểm tra cả phương trình để loại trường hợp trùng đường.
• Khi giải hệ phương trình, quên kiểm tra nghiệm tìm được thỏa cả ba phương trình hay chưa.
• Quên kiểm tra đồng phẳng khi xác định đường thẳng chéo nhau.
• Khi hai đường cùng phương, không kiểm tra điểm trên hai đường có trùng nhau không.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hai đường thẳng trong không gian có thể: cắt nhau, song song (hoặc trùng), hoặc chéo nhau.
• Phân biệt bằng việc so sánh vectơ chỉ phương và giải hệ tham số.
• Luôn kiểm tra cả ba phương trình khi giải hệ nghiệm giao điểm.
• Áp dụng khéo léo định nghĩa để tránh nhầm lẫn các vị trí.
• Thường xuyên luyện tập các bài mẫu để thành thạo kỹ thuật nhận dạng.