Blog

Lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Lý thuyết trọng tâm và ứng dụng cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đặc biệt trong chuyên đề Hình học không gian. Việc nắm vững khái niệm này không chỉ giúp học sinh giải thành thạo các bài tập liên quan, mà còn hỗ trợ giải quyết các bài toán thực tiễn như dựng mô hình, tính toán trong xây dựng, kỹ thuật... Hiểu rõ các vị trí tương đối giúp bạn phân biệt rõ trường hợp đồng quy, cắt nhau, song song hoặc chéo nhau của hai đường thẳng trong không gian. Ngoài ra, luyện tập nhiều dạng bài tập sẽ giúp bạn tự tin vượt qua các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Hãy bắt đầu ngay với hơn 42.226+ bài tập miễn phí về vị trí tương đối của hai đường thẳng để luyện kỹ năng giải bài tập!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Trong không gian, hai đường thẳng có thể có các vị trí tương đối sau: cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau. Để nhận biết chính xác, ta cần xét đến phương trình tham số hoặc vectơ chỉ phương của từng đường thẳng.
- Các định lý, tính chất: Hai đường thẳng cắt nhau khi có điểm chung duy nhất, song song khi cùng nằm trên một mặt phẳng nhưng không cắt nhau, trùng nhau khi mọi điểm của đường này cũng thuộc đường kia, và chéo nhau nếu không cùng nằm trên một mặt phẳng nào.
- Điều kiện áp dụng: Các điều kiện này chỉ áp dụng cho không gian 3 chiều (Oxyz) hoặc mặt phẳng (Oxy) tuỳ yêu cầu bài toán.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức dạng tham số:Đường thẳngd1d_1qua điểmA(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1), có vectơ chỉ phươngu⃗1=(a1,b1,c1)\vec{u}_1 = (a_1, b_1, c_1)có phương trình:

{x=x1+a1ty=y1+b1tz=z1+c1t,\t∈R\begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\y = y_1 + b_1 t \\z = z_1 + c_1 t \\\end{cases},\t \in \mathbb{R}

Tương tự cho đường thẳngd2d_2: quaB(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2), vectơ chỉ phươngu⃗2=(a2,b2,c2)\vec{u}_2 = (a_2, b_2, c_2).

- Quy tắc kiểm tra vị trí tương đối:

  • Nếuu⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2cùng phương (tứca1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}) và hai đường có điểm chung: Hai đường trùng nhau.
  • Nếuu⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2cùng phương nhưng không có điểm chung: Hai đường song song.
  • Nếuu⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2không cùng phương:
  • + Nếu tồn tại nghiệm duy nhất của hệ phương trình, hai đường cắt nhau.
  • + Nếu không có nghiệm, hai đường chéo nhau.

    • - Cách thuộc công thức: Áp dụng lập bảng so sánh hệ số, hoặc viết ngắn gọn dưới dạng tỷ lệ và giải hệ phương trình.

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hai đường thẳng có phương trình tham số:

    {x=1+2ty=−1+tz=2−t\begin{cases} x = 1 + 2t \\y = -1 + t \\z = 2 - t \\\end{cases}
    vớit∈Rt \in \mathbb{R}
    {x=3+sy=1+2sz=1+s\begin{cases} x = 3 + s \\y = 1 + 2s \\z = 1 + s \\\end{cases}
    vớis∈Rs \in \mathbb{R}

    Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng này?

    - Lời giải từng bước:

  • Xác định vectơ chỉ phương:u⃗1=(2,1,−1)\vec{u}_1 = (2,1,-1)và u⃗2=(1,2,1)\vec{u}_2 = (1,2,1)
  • Hai vectơ không cùng phương (vì 21≠12≠−11\frac{2}{1} \neq \frac{1}{2} \neq \frac{-1}{1}). Vậy có khả năng hai đường cắt nhau hoặc chéo nhau.
  • Giải hệ phương trình sau tìm nghiệm thực:
    • {1+2t=3+s−1+t=1+2s2−t=1+s\begin{cases} 1 + 2t = 3 + s \\ -1 + t = 1 + 2s \\ 2 - t = 1 + s \\\end{cases}
  • Giải rat=1t=1,s=0s=0, thử thay vào phương trình thứ 3:2−1=1+0⇒1=12-1=1+0 \Rightarrow 1=1(Đúng).
  • Vậy hai đường cắt nhau tại điểmM(3,0,1)M(3,0,1).

    • Lưu ý: Cần kiểm tra cả 3 phương trình đảm bảo nghiệm tìm được là duy nhất và phù hợp.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho hai đường thẳng

    d1:{x=ty=2+2tz=−1+3td_1: \begin{cases} x = t \\y = 2 + 2t \\z = -1 + 3t \\\end{cases}
    ;
    d2:{x=1+2sy=−1+4sz=2+6sd_2: \begin{cases} x = 1 + 2s \\y = -1 + 4s \\z = 2 + 6s \\\end{cases}
    .

  • Xác định vị trí tương đối:u⃗1=(1,2,3)\vec{u}_1 = (1,2,3)và u⃗2=(2,4,6)=2u⃗1\vec{u}_2 = (2,4,6) = 2\vec{u}_1. Hai vectơ cùng phương.
  • Lập hệ phương trình tìm nghiệm chung:
    • {t=1+2s2+2t=−1+4s−1+3t=2+6s\begin{cases} t = 1+2s \\ 2+2t = -1+4s \\ -1+3t=2+6s \\\end{cases}
  • Giải hệ ta thấy không tồn tại giá trị s,ts, tthỏa mãn cả 3 phương trình. Vậy hai đường song song không trùng.

    • Kỹ thuật giải nhanh: Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương, chỉ cần kiểm tra một điểm trên d1 có thuộc d2 không để xác định trùng hay song song.

    4. Các trường hợp đặc biệt

    - Hai đường trùng nhau: Cần kiểm tra ít nhất một điểm trênd1d_1nằm trênd2d_2và hai vectơ chỉ phương cùng phương.
    - Hai đường chéo nhau: Không cùng phương, không có điểm chung. Thường cần tính khoảng cách giữa hai đường (áp dụng trong các bài vận dụng và nâng cao).
    - Mối liên hệ: Vị trí tương đối của hai đường thẳng còn liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, vị trí mặt phẳng với mặt phẳng,... trong không gian.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn hai đường thẳng song song và chéo nhau (cần nhớ kiểm tra cùng mặt phẳng).
  • Không kiểm tra điểm chung khi hai vectơ chỉ phương cùng phương (dẫn đến phân biệt sai trường hợp trùng và song song).
  • Viết sai phương trình tham số hoặc hệ số.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Giải hệ phương trình sai, nhầm dấu, hoặc bỏ qua điều kiệnt,s∈Rt, s \in \mathbb{R}.
  • Cách kiểm tra: Sau khi ra nghiệm, hãy thay lại vào cả hai phương trình để đối chiếu kết quả.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Hãy truy cập ngay 42.226+ bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng miễn phí để thử sức với nhiều dạng bài đa dạng. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay, theo dõi tiến bộ và cải thiện kỹ năng một cách hiệu quả!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

    - Các vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau.
    - Cách kiểm tra: So sánh vectơ chỉ phương, giải hệ phương trình để tìm điểm chung.
    - Lưu ý kiểm tra kỹ khái niệm và kết quả cuối cùng.
    - Luyện tập đa dạng giúp ghi nhớ và vận dụng linh hoạt hơn trong các bài toán nâng cao.

    Checklist ôn tập:

  • Nắm vững cách viết phương trình tham số hai đường thẳng.
  • Phân biệt chính xác các vị trí tương đối.
  • Luyện tập giải hệ phương trình tìm điểm chung.
  • Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay ngược vào hệ.

    • Hãy lên kế hoạch luyện tập với các bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng miễn phí mỗi ngày để củng cố và mở rộng kiến thức của mình!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".