Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian – Giải thích chi tiết dành cho học sinh lớp 12

Giới thiệu về vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong chương trình Toán lớp 12, kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Nó không chỉ là nền tảng để giải các bài toán hình học không gian mà còn liên quan đến nhiều chủ đề khác như đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách, góc giữa các đối tượng trong không gian. Nắm vững khái niệm này sẽ giúp bạn dễ dàng áp dụng vào các bài tập trắc nghiệm lẫn tự luận, đồng thời tăng khả năng tư duy hình học, logic khi giải toán.

Định nghĩa chính xác về vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng$d_1$và $d_2$trong không gian, vị trí tương đối của chúng được xác định qua mối quan hệ về giao điểm và phương. Có bốn trường hợp chính:

• Cắt nhau: Hai đường thẳng có duy nhất một điểm chung.
• Song song: Không có điểm chung nào, nhưng cùng nằm trên một mặt phẳng và có cùng phương.
• Trùng nhau: Có vô số điểm chung — thực chất là một.
• Chéo nhau: Không có điểm chung, không cùng nằm trên một mặt phẳng — không song song cũng không cắt nhau.

Xác định được chính xác vị trí tương đối của hai đường thẳng là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán liên quan như xác định giao điểm, tính toán khoảng cách, dựng hình, xác định góc giữa hai đường thẳng.

Giải thích từng trường hợp với ví dụ minh họa

Để minh họa cụ thể, ta thường sử dụng phương trình tham số của đường thẳng trong không gian:

Giả sử $d_1$có phương trình tham số:

d_1: \[\begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\y = y_1 + b_1 t \\z = z_1 + c_1 t \\\end{cases}\] \; (t$\in$\mathbb{R})

Và $d_2$có:

d_2: \[\begin{cases} x = x_2 + a_2 s \\y = y_2 + b_2 s \\z = z_2 + c_2 s \\\end{cases}\] \; (s$\in$\mathbb{R})

Ta cần kiểm tra các trường hợp sau:

1. Hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng$d_1$và $d_2$cắt nhau nếu tồn tại duy nhất một cặp$(t_0, s_0)$sao cho:

\[\begin{cases} x_1 + a_1 t_0 = x_2 + a_2 s_0 \\y_1 + b_1 t_0 = y_2 + b_2 s_0 \\z_1 + c_1 t_0 = z_2 + c_2 s_0 \\\end{cases}\]

Và các vectơ chỉ phương$\vec{u}_1=(a_1, b_1, c_1)$và $\vec{u}_2=(a_2, b_2, c_2)$không cùng phương.

Ví dụ: Cho

và . Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng này.

Giải: Thiết lập hệ phương trình:

\[\begin{cases} 1 + 2t = 2 + s \\ 2 + t = 1 + 2s \\ 3 + t = 4 + 2s \\\end{cases}\]

Giải ra được$t = 0$,$s = -1$, kiểm tra thấy các phương trình đều thỏa mãn nên hai đường thẳng cắt nhau tại điểm$(1, 2, 3)$.

2. Hai đường thẳng song song (không trùng nhau)

Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là tồn tại$k \neq 0$sao cho:

\vec{u}_1 = k \vec{u}_2

và các điểm trên$d_1$,$d_2$không trùng nhau (không là cùng một đường thẳng).

Ví dụ:

và

Rõ ràng$\vec{u}_1 = (1, 2, 3)$,$\vec{u}_2 = (2, 4, 6)$, nên$\vec{u}_2 = 2\vec{u}_1$. Hai đường thẳng cùng phương, kiểm tra nếu các điểm không trùng thì hai đường thẳng là song song.

3. Hai đường thẳng trùng nhau

Nếu ngoài việc cùng phương như trên, còn có thể tìm được tham số để các điểm ứng nhau trên hai đường thẳng, thì đó là hai đường thẳng trùng nhau.

Ví dụ:

và . Lấy$t = 2s$, ta thấy mọi điểm trên$d_2$ đều là điểm trên$d_1$, vậy hai đường thẳng trùng nhau.

4. Hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không cùng phương, không cắt nhau, không trùng và không song song — nghĩa là không có nghiệm$(t, s)$thoả hệ phương trình 3 ẩn, và các vectơ chỉ phương không cùng phương.

Ví dụ:

và . Dễ thấy nếu giải hệ phương trình thì không có cặp$(t, s)$nào thoả mãn tất cả, và hai vectơ chỉ phương cũng không đồng phẳng.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Luôn kiểm tra thứ tự các bước: so sánh vectơ chỉ phương trước (tìm xem có cùng phương không), rồi giải hệ phương trình để kiểm tra giao điểm.
• Có những trường hợp nhìn qua tưởng chừng song song nhưng thực chất chéo nhau (vì không nằm trên cùng một mặt phẳng).
• Nếu các giá trị tham số tìm được không thực, hoặc hệ phương trình vô nghiệm thì có thể là trường hợp chéo nhau.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vị trí tương đối của hai đường thẳng có liên hệ mật thiết với:

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Góc giữa hai đường thẳng (được xác định khi hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau).
• Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d_1: \[\begin{cases} x = 1 + t \\y = 2t \\\end{cases}\] \quad d_2: \[\begin{cases} x = 1 - 2s \\y = 4 - 2s \\\end{cases}\]

Dễ thấy đây là hai đường thẳng trong mặt phẳng$Oxy$.

Giải: So sánh vectơ chỉ phương:$\vec{u}_1 = (1,2)$,$\vec{u}_2 = (-2,-2)$, không cùng phương. Giải hệ:$1+t = 1-2s$,$2t=4-2s$. Từ phương trình đầu:$t=-2s$, thay xuống:$2(-2s) = 4-2s \implies -4s = 4-2s \implies -2s=4 \implies s=-2$,$t=4$. Thay lại vào:$x=1+4=5$,$y=2<em>4=8$. Thử lại với$d_2$:$x=1-2</em>(-2)=1+4=5$,$y=4-2*(-2)=4+4=8$. Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm$(5,8)$.

Bài tập 2: Cho

và . Xác định vị trí tương đối.

So sánh vectơ chỉ phương:$\vec{u}_1=(1,2,3)$,$\vec{u}_2=(2,4,6)$, suy ra cùng phương. Kiểm tra xem một điểm trên đường này có thuộc đường kia không: ví dụ chọn$(x=1, y=2, z=3)$với$t=0$. Kiểm tra với$d_2$:$x=1\implies 1=4+2s\implies s=-1.5$, kiểm tra$y=2\implies 2=6+4*(-1.5)=6-6=0$, không thoả mãn. Vậy hai đường thẳng song song.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ kiểm tra giao điểm mà không kiểm tra vectơ chỉ phương → dễ bỏ sót trường hợp song song hoặc trùng nhau.
• Nhầm giữa trường hợp chéo nhau và song song.
• Quên đặt các tham số độc lập, dẫn đến giải nhầm hệ hoặc thiếu bước kiểm tra.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phải xác định đúng và đủ 4 trường hợp của vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau.
• Luôn kiểm tra vectơ chỉ phương trước, sau đó giải hệ phương trình để kiểm tra giao điểm.
• Ứng dụng kiến thức này vào nhiều bài toán khác như: tìm giao điểm, tính góc, tính khoảng cách, dựng hình, v.v.

Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu rõ và áp dụng thành thạo kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.