Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, "Vị trí tương đối của hai đường thẳng" là kiến thức trọng tâm thuộc phần Hình học không gian. Việc xác định đúng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng rất quan trọng để giải các bài toán về hình học không gian, chứng minh, tính toán khoảng cách, góc giữa hai đường thẳng và giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi THPT Quốc gia và đại học.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng$d_1$và $d_2$trong không gian. Vị trí tương đối của chúng chính là mối liên hệ về mặt hình học giữa$d_1$và $d_2$, thể hiện qua bốn trường hợp:

• Hai đường thẳng cắt nhau
• Hai đường thẳng song song
• Hai đường thẳng trùng nhau
• Hai đường thẳng chéo nhau (không cắt nhau, không song song, không trùng nhau)

3. Giải thích từng trường hợp với ví dụ minh họa

Giả sử hai đường thẳng$d_1$và $d_2$có phương trình tham số:

a) Hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng$d_1$và $d_2$ncắt nhau[0m khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng (đồng phẳng) và có duy nhất một điểm chung.

Điều kiện: Hệ phương trình tham số có nghiệm duy nhất$(t_0,s_0)$thỏa mãn:

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình thứ nhất:$t = s + 1$.
Thay vào phương trình thứ ba:$3 + t = 4 + s \rightarrow 3 + s + 1 = 4 + s \rightarrow 4 = 4$, luôn đúng.
Thay$t = s + 1$vào phương trình thứ hai:
$2 + 2(s + 1) = 1 + 3s \rightarrow 2 + 2s + 2 = 1 + 3s \rightarrow 4 + 2s = 1 + 3s \rightarrow s = 3$.
Suy ra$t = 4$.
Vậy hai đường này cắt nhau tại$t = 4$,$s = 3$.

b) Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng$d_1$và $d_2$gọi là song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và có cùng phương (các vector chỉ phương tỉ lệ), nhưng không có điểm chung nào hoặc hoàn toàn trùng nhau.

Điều kiện:
-$\vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1)$và $\vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2)$tỉ lệ:$\exists k \ne 0$sao choa_1 = k a_2,\b_1 = k b_2,\c_1 = k c_2
- Và hai đường không có điểm chung (không có nghiệm của hệ phương trình tham số)

Ví dụ:

,
Ta thấy$\vec{u_1} = (2,4,6) = 2 \vec{u_2} = (4,8,12)$. Thử giải hệ phương trình ta thấy không tồn tại nghiệm, nên hai đường song song.

c) Hai đường thẳng trùng nhau

Khi hai đường có cùng phương trình hoặc có vector chỉ phương tỉ lệ và có ít nhất một điểm chung, chúng thực chất là một đường thẳng.

Ví dụ:

,
Có $\vec{u_1} = (2,4,6) = 2(1,2,3) = 2\vec{u_2}$
Thay$s=0$vào$d_2$ được điểm$(1,3,-1)$nằm trên cả hai.
Vậy$d_1$và $d_2$trùng nhau.

d) Hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường không đồng phẳng: Không song song, không cắt nhau. Khi đó, các hệ phương trình trên không có nghiệm và các vector chỉ phương không tỉ lệ.

Ví dụ:

,
Dễ thấy các vector chỉ phương không tỉ lệ và nghiệm hệ phương trình không tồn tại, vậy đây là hai đường thẳng chéo nhau.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Hai đường thẳng$d_1, d_2$trùng nhau: mọi điểm thuộc$d_1$ đều thuộc$d_2$.
• Hai đường thẳng song song: các vector chỉ phương tỉ lệ nhưng không có điểm chung.
• Hai đường thẳng cắt nhau: hệ phương trình xác định được duy nhất một bộ giá trị $(t,s)$.
• Các trường hợp đặc biệt dễ nhầm giữa song song và trùng nhau, cần kiểm tra điểm chung.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Vị trí tương đối của hai đường thẳng liên quan mật thiết đến đồng phẳng, vector chỉ phương, khoảng cách, góc giữa hai đường thẳng.
- Dùng để giải bài toán giao điểm, lập phương trình mặt phẳng, giải quyết các bài toán về hình học không gian, thiết diện.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài toán 1: Cho hai đường thẳng

,.
Hãy xác định vị trí tương đối của$d_1$và $d_2$.

Giải:
- Ta có $\vec{u_1} = (1,2,-1)$,$\vec{u_2} = (-1,4,2)$, không tỉ lệ.

Giải hệ phương trình:

Từ (1):$t = 2 - s$, (3):$2 - (2 - s) = 1 + 2s \rightarrow s = \frac{1}{3}$.
Từ (1):$t = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
Kiểm tra với (2):$-1 + 2 \times \frac{5}{3} = 4 \times \frac{1}{3} \rightarrow -1 + \frac{10}{3} = \frac{4}{3} \rightarrow \frac{7}{3} = \frac{4}{3}$(sai).
Vậy không có nghiệm, hai đường chéo nhau.

Bài toán 2: Tìm điều kiện để hai đường thẳng

và cắt nhau.

Giải:
-$\vec{u_1} = (1,2,0)$,$\vec{u_2} = (3,6,0)$, tỉ lệ nhau (song song hoặc trùng).
Giải hệ:$t = 1 + 3s$,$2t = 1 + 6s$,$3 = 3$(luôn đúng).
Thay$t$vào$2t$:$2(1 + 3s) = 1 + 6s \Rightarrow 2 + 6s = 1 + 6s \Rightarrow 2 = 1$(sai). Không có nghiệm.
Vậy hai đường song song không cắt nhau.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa song song và chéo nhau do không kiểm tra kỹ hệ số tỉ lệ hoặc hệ phương trình nghiệm.
• Chỉ kiểm tra tỉ lệ vector chỉ phương mà không kiểm tra điểm chung dẫn đến nhầm trùng nhau và song song.
• Bỏ qua việc xét đồng phẳng, dẫn đến kết luận sai.

8. Tóm tắt kiến thức và các điểm chính cần nhớ

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian gồm: cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau.
• Phân biệt bằng vector chỉ phương, điểm chung và hệ phương trình tham số.
• Kiểm tra điều kiện cắt nhau: hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
• Kiểm tra điều kiện song song: vector chỉ phương tỉ lệ, không có điểm chung.
• Kiểm tra điều kiện trùng nhau: tỉ lệ vector chỉ phương và có điểm chung.
• Nếu không thuộc các trường hợp trên, hai đường thẳng chéo nhau.

Nắm vững các bước xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sẽ giúp bạn giải quyết nhanh, chính xác các bài toán hình học không gian lớp 12 cũng như trong các kỳ thi quan trọng.