Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 12, hình học không gian là một phần kiến thức rất quan trọng, cung cấp nền tảng cho các bài toán thực tế cũng như các kỳ thi lớn. Một trong những kiến thức cốt lõi ở chương này là "vị trí tương đối của hai mặt phẳng". Nắm vững khái niệm này giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán liên quan đến góc, khoảng cách, giao tuyến, đồng thời nâng cao khả năng tư duy logic trong không gian ba chiều.

2. Định nghĩa chính xác về vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng trong không gian có thể nằm ở các vị trí tương đối khác nhau tùy thuộc vào mối quan hệ về phương và vị trí giữa chúng. Cụ thể, có ba trường hợp chính sau:

• Hai mặt phẳng song song với nhau.
• Hai mặt phẳng trùng nhau.
• Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng.

Để xác định vị trí tương đối, ta thường xét các yếu tố: phương của hai mặt phẳng (thông qua vectơ pháp tuyến) và mối liên hệ giữa các hệ số trong phương trình mặt phẳng.

3. Phương trình tổng quát và điều kiện vị trí tương đối

Giả sử cho hai mặt phẳng: $(P_1): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ $(P_2): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ Khi đó:

• Hai mặt phẳng trùng nhau nếu:
  $$\begin{cases} \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{d_1}{d_2} \\\end{cases}$$
• Hai mặt phẳng song song nhưng không trùng nhau nếu: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} <br> \neq \dfrac{d_1}{d_2}$
• Hai mặt phẳng cắt nhau nếu: $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}, \dfrac{c_1}{c_2}$ không đồng thời bằng nhau.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng $(P_1): 2x - y +$z - 3$= 0$
$(P_2):$4x - 2y + 2z - 6$= 0$ Ta tính:
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{-3}{-6} = \dfrac{1}{2}$ Do tất cả các tỉ số đều bằng nhau, nên hai mặt phẳng này trùng nhau.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng

$(P_1): x - 2y + 3z + 5 = 0$
$(P_2): 2x - 4y + 6z + 3 = 0$

Tương tự ta có:
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
Nhưng $\dfrac{5}{3} <br> \neq \dfrac{1}{2}$

Vậy hai mặt phẳng này song song nhưng không trùng nhau.

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng $(P_1): x + y +$z + 1$= 0$
$(P_2): 2x - y +$z - 3$= 0$ $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{1}{-1} = -1$, hai tỉ số này không bằng nhau, nên hai mặt phẳng này cắt nhau.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Trường hợp mặt phẳng vuông góc: Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với nhau (tích vô hướng bằng 0:$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$), gọi là hai mặt phẳng vuông góc.
• Nếu một trong hai mặt phẳng là mặt phẳng tọa độ, việc kiểm tra sẽ đơn giản và dễ nhận biết hơn.
• Chú ý kiểm tra đúng thứ tự ký hiệu các hệ số $a, b, c, d$trước khi so tỉ số.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng là nền tảng cho các bài toán về giao tuyến của hai mặt phẳng, khoảng cách giữa mặt phẳng và điểm hoặc đường thẳng, xác định góc giữa hai mặt phẳng, xét các phép biến hình trong không gian. Ngoài ra, nó còn kết nối với đại số tuyến tính thông qua khái niệm vectơ pháp tuyến và hệ phương trình tuyến tính.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng

$(P_1): x + 2y - z + 1 = 0$

$(P_2): 2x + 4y - 2z + 2 = 0$

Giải:

Tỉ số $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$. Như vậy các tỉ số $a, b, c, d$của hai mặt phẳng đều bằng nhau. Vậy hai mặt phẳng này trùng nhau.

Bài tập 2: Cho$(P_1): x - y + 2z - 3 = 0$và $(P_2): 2x - 2y + 4z + 6 = 0$. Xác định vị trí tương đối của chúng.

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{2}{4} = 0.5$nhưng$\dfrac{-3}{6} = -0.5 \neq 0.5$. Vậy hai mặt phẳng này song song nhưng không trùng nhau.

Bài tập 3:$(P_1): x + 2y + 3z - 4 = 0; (P_2): 2x + 3y + z +1 = 0 \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{1}$nên hai mặt phẳng này cắt nhau theo một đường thẳng.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra đồng thời tất cả các tỉ số $a, b, c, d$giữa hai mặt phẳng. Nên ghi chú rõ từng trường hợp để tránh nhầm lẫn.
• Nhầm vị trí hoặc thứ tự hệ số trong phương trình tổng quát. Cần ghi đầy đủ phương trình mặt phẳng để tránh nhầm lẫn.
• Sai dấu số khi tính toán các hệ số, nên luôn kiểm tra lại các phép chia và dấu.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Có ba vị trí tương đối cơ bản của hai mặt phẳng: trùng nhau, song song không trùng, và cắt nhau.
• Để xác định vị trí, sử dụng tỉ số các hệ số $a, b, c, d$trong phương trình mặt phẳng tổng quát.
• Nếu cần phân biệt rõ hơn, kiểm tra thêm vị trí và phương của các vectơ pháp tuyến.
• Đừng quên liên hệ khái niệm này với các bài toán về giao tuyến, khoảng cách, góc trong không gian.

Hiểu rõ và thành thạo kiểm tra vị trí tương đối của hai mặt phẳng sẽ giúp các em học tốt không chỉ môn Toán lớp 12 mà còn các kỳ thi lớn và các ngành học liên quan đến hình học không gian trong tương lai.