Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng: Khái niệm, phân tích và bài tập vận dụng

1. Giới thiệu chung về vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, "vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng" là một chủ đề rất quan trọng, thường xuất hiện trong bài thi THPT Quốc gia cũng như các đề ôn tập. Việc hiểu rõ vị trí tương đối giúp học sinh giải quyết thành thạo các dạng bài về hình học không gian, tìm giao tuyến, diện tích, thể tích, hoặc xác định điều kiện tiếp xúc – tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong… Cũng như nhiều bài toán về các đối tượng không gian khác như mặt phẳng, đường thẳng, mặt trụ, mặt nón, mặt cầu là hình khối quen thuộc và kiến thức này là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác về vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu$S$có tâm$I(x_0; y_0; z_0)$và bán kính$R>0$, có phương trình:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Cho mặt phẳng$(P): ax + by + cz + d = 0$(trong đó $a, b, c$không đồng thời bằng 0).

Khi đó, vị trí tương đối của mặt cầu$S$và mặt phẳng$(P)$ được phân biệt dựa trên khoảng cách từ tâm$I$của mặt cầu tới mặt phẳng$(P)$và bán kính$R$của mặt cầu.

Công thức tính khoảng cách từ tâm$I$ đến mặt phẳng$(P)$:

$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Ta có 3 trường hợp vị trí tương đối:

• Nếu$d > R$: Mặt cầu và mặt phẳng không giao nhau (mặt phẳng nằm ngoài mặt cầu).
• Nếu$d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu).
• Nếu$d < R$: Mặt phẳng cắt mặt cầu (giao nhau là một đường tròn).

3. Giải thích chi tiết từng trường hợp bằng ví dụ minh họa

Xét mặt cầu$S: (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25$(tâm$I(1, -2, 3)$, bán kính$R = 5$) và mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 1 = 0$.

1. Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng$(P)$:
   
   $d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 - 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{|2+2+6-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{9}{3}=3$
   
   Nhận xét: $d=3 < R=5$⇒ Mặt phẳng$(P)$cắt mặt cầu$S$ theo một đường tròn.
2. Đổi mặt phẳng:$(Q): 2x - y + 2z - 10 = 0$.
   
   Tính khoảng cách:
   
   $d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 - 10|}{3} = \frac{|2 + 2 + 6 - 10|}{3} = \frac{0}{3} = 0$
   
   Nhận xét:$d = 0 < 5$⇒ Mặt phẳng$(Q)$ đi qua tâm$I$, cắt mặt cầu tại một đường tròn lớn (giao tuyến là đường tròn lớn trên mặt cầu).
3. Một mặt phẳng khác:$(R): 2x - y + 2z - 20 = 0$
   
   Khoảng cách:
   
   $d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 - 20|}{3} = \frac{|2 + 2 + 6 - 20|}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$
   
   Nhận xét:$d=3.33 < 5$vẫn là mặt phẳng cắt mặt cầu. Nhưng nếu ta chọn mặt phẳng$(S'): 2x-y+2z-25=0$thì khoảng cách là:
   
   $d = \frac{|2+2+6-25|}{3} = \frac{15}{3}=5$
   
   Khi đó $d=5=R$, suy ra mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu; điểm tiếp xúc$M$chính là điểm thỏa mãn cả hai phương trình$S$và $S'$.
4. Nếu ta chọn mặt phẳng$(S''): 2x-y+2z-35=0$thì:
   
   $d = \frac{|2+2+6-35|}{3}=\frac{25}{3} \approx 8.33 >5$
   
   Mặt phẳng này nằm ngoài mặt cầu, không có giao điểm với mặt cầu.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Khi mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu ($d=0$), mặt phẳng cắt mặt cầu tại một đường tròn lớn (tâm trùng với tâm cầu, bán kính bằng$R$).
• Nếu mặt phẳng tiếp xúc ngoài, điểm tiếp xúc$M$duy nhất có thể xác định bằng cách giải hệ: mặt cầu & mặt phẳng.
• Giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng bao giờ cũng là một đường tròn (nếu cắt nhau). Tâm của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của $I$lên mặt phẳng$(P)$. Bán kính giao tuyến $r$có thể tính bằng$r=\sqrt{R^2 - d^2}$.
• Nếu$R=0$, bài toán trở thành vị trí điểm và mặt phẳng thông thường.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng là mở rộng của việc xét vị trí tương đối của:
- Điểm và mặt phẳng (khi$R=0$hoặc bán kính nhỏ hơn)
- Đường tròn và đường thẳng (trong mặt phẳng – tương tự mặt cầu và mặt phẳng trong không gian)
Ngoài ra, khái niệm chiếu vuông góc, hệ số khoảng cách là những nội dung được tích hợp, giúp học sinh dễ dàng vận dụng sang các bài toán về tiếp tuyến, tiếp diện hoặc hình học không gian khác.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Cho mặt cầu$S: (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-4)^2 = 16$và mặt phẳng$(P): x - 2y + 2z - 10 = 0$.
Hỏi mặt phẳng$(P)$và mặt cầu$S$có vị trí tương đối như thế nào?

Giải:
- Tâm mặt cầu$I(2, -1, 4)$, bán kính$R=4$.
- Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng$(P)$:

$d = \frac{|1 \cdot 2 -2 \cdot (-1)+2 \cdot 4 -10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|2+2+8-10|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{2}{3} < 4$

Suy ra:$d < R$=> Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.

Bài tập 2:
Cho mặt cầu$S: (x)^2 + (y)^2 + (z-1)^2 = 9$và mặt phẳng$(Q): z=5$.
Hỏi$(Q)$cắt, tiếp xúc, hay không giao với mặt cầu$S$?

Giải:
- Tâm$I(0,0,1)$,$R=3$.
- Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng$z=5$là $|1-5| = 4$. Do$4 > 3$nên$(Q)$không giao với mặt cầu.

Bài tập 3:
Cho mặt cầu$S: (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 36$và mặt phẳng$(M): x + 2y - 2z + 13 = 0$.
Tính tọa độ điểm tiếp xúc nếu có.

Giải:
- Tâm $I(2, 3, -1)$, bán kính $R=6$.
- $a=1; b=2; c=-2; d=13$.
- Tính $d = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) + 13|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac{|2+6+2+13|}{\sqrt{9}}=\frac{23}{3}$
- $d=7.67>6$, nên mặt phẳng không giao mặt cầu => Không có tiếp điểm.

Bài tập 4:
Nhập vai tiếp diện: Nếu mặt phẳng$x-2y+z=0$vừa là tiếp diện của mặt cầu$S: (x+1)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 4$thì tâm tiếp xúc có tọa độ và cách xác định nào?

Giải:
Tâm $I(-1,1,-2)$, $R = 2$
Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng:
$d = \frac{|-1-2 \cdot 1+(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|-1-2-2|}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$
Nhưng vì tiếp diện, $d = R$:

$\frac{5}{\sqrt{6}} = 2 \rightarrow \text{Sai.}$

Tiếp diện xảy ra khi$d=R=2$, do đó với phép dịch hoặc thay đổi hệ số d để đạt$d=2$sẽ nhận được mặt phẳng tiếp xúc. Điểm tiếp xúc$M$là hình chiếu vuông góc của tâm cầu$I$lên mặt phẳng.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn dấu trị tuyệt đối khi tính khoảng cách: luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số.
• Quên chuẩn hoá hệ số mẫu số (dùng $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, không phải $a+b+c$).
• Không kiểm tra điều kiện$a, b, c$không đồng thời bằng 0 trong phương trình mặt phẳng.
• Nhầm lẫn trường hợp tiếp xúc và cắt khi$d=R$hoặc$d<R$.

8. Tóm tắt – Các điểm cần nhớ

• Công thức về khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là mấu chốt để xác định vị trí tương đối.
• Có 3 trường hợp: Không giao ($d > R$), tiếp xúc ($d = R$), giao nhau ($d < R$).
• Nếu cắt nhau, đường giao tuyến là đường tròn, có thể tìm tâm và bán kính phù hợp.
• Quy trình tổng quát: Tìm tâm, bán kính, tính khoảng cách; so sánh rồi kết luận rõ ràng.
• Luôn kiểm tra kỹ lưỡng dấu và dạng công thức khi giải bài toán thực tế.